MATEMÁTICAS 10

UNIDAD 1

1. ÁNGULOS Y MEDIDAS DE ÁNGULOS

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radian, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

1.1. DE ACUERDO CON SU AMPLITUD

1.2 EN FUNCIÓN DE SU POSICIÓN

1.2.1 ÁNGULOS CONSECUTIVOS. los que tienen un lado v el vértice común. Se dividen en:

1.1.

Ángulos opuestos por el vértice. Aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas. Como ya vimos, por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas que parten de un mismo

ÁNGULOS

CONJUGADOS

Ángulos conjugados se denomina a dos ángulos cuyas medidas suman 360º.

punto. Fijando nuestra atención en las rectas, sabemos que estas pueden ser secantes (que se cortan) o paralelas (que no se cortan nunca).

Ángulos

Los ángulos miden la cantidad de giro

Nombres de los ángulos

Según aumenta el ángulo, el nombre va cambiando

Tipos de ángulos	Descripción
Ángulo agudo	un ángulo de menos de 90°
Ángulo recto	un ángulo de 90°
Ángulo obtuso	un ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano	un ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo	un ángulo de más de 180°

Cuidado con las medidas


Este ángulo es obtuso.	Este ángulo es reflejo.

Pero las líneas son las mismas... así que cuando midas y marques ángulos, ¡asegúrate de que sabes cuál de los ángulos necesitas!

Partes de un ángulo

La esquina de un ángulo se llama vértice

Y los lados rectos son rayos

El ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.

Marcar ángulos

Hay dos maneras comunes de marcar un ángulo:

1. dándole nombre, normalmente una letra minúscula como a o b, o a veces una letra griega como α (alfa) o θ (theta)

2. o con las tres letras que definen el ángulo, poniendo en medio la letra donde se encuentra (su vértice).

Ejemplo: el ángulo "a" es "BAC", y el ángulo "θ" es "BCD"

Grados (ángulos)

Los ángulos se pueden medir en grados.

Hay 360 grados en una vuelta completa (un círculo completo).

(También se pueden medir ángulos en radianes)

(Nota: "grados" también pueden ser de temperatura, pero aquí sólo hablamos de ángulos)

El símbolo de grado: °

Se usa un pequeño círculo ° después del número para indicar grados.

Por ejemplo 90° significa 90 grados

Un grado

Así de grande es 1 grado

Un círculo completo

Un cículo completo son 360°

Medio círculo son 180°
(esto se llama ángulo llano)

Un cuarto de círculo son 90°
(y se llama ángulo recto)

¿Por qué son 360? Probablemente porque antiguamente había calendarios (por ejemplo el persa) que tenían 360 días por año, así que cuando miraban las estrellas veían que giraban alrededor de la Estrella Polar un grado cada día.

Midiendo grados

Muchas veces medimos grados usando un transportador:

Normalmente los transportadores miden ángulos de 0° a 180°

También hay transportadores de vuelta completa.

Pero no son tan comunes porque son grandes y no valen para nada especial.

Radianes

Los ángulos se pueden medir en grados o radianes.
Un radián son 180/π grados, aproximadamente 57.296°

Un radián es:

el ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo:

Así que un radián "marca" una longitud de circunferencia igual al radio.

Hay 2π radianes en un círculo completo

Es decir, si cortas trozos de cuerda de longitud exactamente igual a la distancia del centro del círculo hasta el borde, ¿cuántas te hacen falta para dar una vuelta alrededor?

Respuesta: 2π, más o menos 6.28 trozos de cuerda.

Los matemáticos prefieren los radianes

Porque los radianes se basan en la idea abstracta de "el radio puesto a lo largo de la circunferencia", y esto da resultados simples y naturales en cuestiones de ángulos.

Por ejemplo,, fíjate en la función seno para valores muy pequeños:

x (Radianes)	sin(x)	sin(x)/x
1	0.8414710	0.8414710
0.1	0.0998334	0.9983342
0.01	0.0099998	0.9999833
0.001	0.0009999998	0.9999998

Cuando los valores son muy pequeños, ¡"x" y "sin(x)" valen casi lo mismo!

Te encontrarás otros ejemplos cuando vayas aprendiendo más matemáticas.

Plano

Un plano es una superficie lisa sin grosor.

Nuestro mundo tiene tres dimensiones, pero un plano sólo tiene dos dimensiones.

Ejemplos:

longitud y altura, o
x e y

Y así sin final.

Ejemplos

¡Es difícil dar ejemplos reales!

Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel estás dibujando en un plano...

... ¡aunque el papel no es un plano él mismo, porque tiene un poco de grosor! Y tampoco se extiende indefinidamente.

¡Así que la idea correcta es
la parte superior de un trozo perfectamente liso de papel sin fin!

También las superficies de una mesa, el suelo y una pizarra son como un plano.

Símbolos en geometría

Símbolos que se usan con frecuencia en geometría

Los símbolos nos ayudan a ahorrar tiempo y espacio cuando escribimos. Aquí tienes los símbolos geométricos más comunes:

Significado	Ejemplo	En palabras
Triángulo	ABC tiene 3 lados iguales	El triángulo ABC tiene tres lados iguales
Ángulo	ABC mide 45°	El ángulo formado por ABC mide 45 grados.
Perpendicular	ABCD	La línea AB es perpendicular a la línea CD
Paralela	EFGH	La línea EF is paralela a la línea GH
Grados	360° es un círculo completo
Ángulo recto (90°)	mide 90°	Un ángulo recto mide 90 grados
Segmento de línea "AB"	AB	La línea entre A y B
Línea "AB"		La línea infinita que pasa por A y B
Rayo "AB"		La línea que empieza en A, pasa por B y continúa
Congruente (mismo tamaño y forma)	ABC DEF	El triángulo ABC es congruente con el triángulo DEF
Similar (misma forma, distinto tamaño)	DEFMNO	El triángulo DEF es similar al triángulo MNO
Por tanto	a=b b=a	a es igual que b, por tanto b es igual que a

Nombrar ángulos

En los ángulos la letra del medio dice dónde está el ángulo. Por ejemplo cuando veas "

ABC mide 45°", el punto "B" es donde está el ángulo.

Ejemplo breve

Así que si alguien escribe:

ABC,

BAC es

Ya sabes que quiere decir:

"En el triángulo ABC, el ángulo BAC es un ángulo recto"

Geometría

La Geometría trata sobre las formas y sus propiedades.

Los dos temas más comunes son:

	Geometría Plana (sobre formas planas como líneas rectas, círculos y triángulos... formas que se pueden dibujar en un trozo de papel)

	Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales como cubos y pirámides).

Si te gusta jugar con objetos, o te gusta dibujar, ¡la geometría es para ti!

Pista: Intenta dibujar algunas de las formas y ángulos en el momento en que los aprendes... eso ayuda.

¡Sólidos!

La Geometría Sólida es la geometría del espacio tridimensional, el tipo de espacio donde vivimos...

Poliedros:
(deben tener caras planas)

	Sólidos Platónicos
	Prismas
	Pirámides

No Poliedros:
(si alguna superficie no es plana)

	Esfera		Toro
	Cilindro		Cono

También: Volumen de un Ortoedro

Geometría Plana

La Geometría Plana trata las formas en una superficie plana (como una hoja de papel sin fin).

Aquí hay una lista de nuestras páginas sobre geometría plana:

Líneas paralelas y pares de ángulos

Líneas paralelas

Dos líneas son paralelas cuando se mantienen siempre a la misma distancia (también se llaman "equidistantes"), y nunca se encuentran. Recuerda:

Siempre a la misma distancia y nunca se encuentran.

Las líneas roja y azul son paralelas en estos dos casos:


Ejemplo 1		Ejemplo 2

Dos líneas paralelas apuntan en la misma dirección.

Pares de ángulos

Cuando un par de líneas paralelas se cruzan con otra línea (a la que se llama transversal), podemos ver que se forman muchos ángulos iguales, como en este ejemplo:

Estos ángulos reciben nombres especiales por pares.

Pulsa en cada nombre para que aparezcan resaltados:

(Si no ves nada a la derecha, quizás tengas que instalar el Flash Player)

Comprobar si dos líneas son paralelas

Algunos de estos pares de ángulos se pueden usar para comprobar si dos líneas son paralelas de verdad:

Si algún par de...	Ejemplo:

ángulos correspondientes son iguales, o	a = e
ángulos interiores alternos son iguales, o	c = f
ángulos exteriores alternos son iguales, o	b = g
ángulos interiores consecutivos suman 180°	d + f = 180°

... entonces las líneas son paralelas

Ejemplos

Estas líneas son paralelas, porque un par de ángulos correspondientes son iguales.
	Estas líneas no son paralelas, porque hay un par de ángulos interiores consecutivos que no suman 180° (81° + 101° =182°)
Estas líneas son paralelas porque un par de ángulos interiores alternos son iguales

OPUESTOS POR EL VÉRTICE

En Geometría euclídea dadas dos rectas r y s, del plano, que se cortan en el punto P, dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Ángulos formados por dos paralelas y una transversal. Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante.

La relación entre dos rectas paralelas cortadas por una secante es un análisis clásico de la geometría euclidiana, que permite analizar una infinidad de problemas prácticos, así como definir algunos conceptos de interés en cuanto a congruencia y suplementaridad de ángulos.

ÁNGULOS INTERNOS.

un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten unvértice común, está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene sólo un ángulo interno por cada vértice y está situado del lado opuesto del polígono.

ÁNGULOS EXTERNOS

Los ángulos externos son ángulos formados por un lado de un polígono y la extensión de su lado adyacente, los ángulos externos se encuentran en la parte exterior del polígono.

Ángulos correspondientes. los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.

Ángulos alternos internos. Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS

los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.

Relaciones entre parejas de ángulos

En casi todas las figuras geométricas donde intervengan rectas aparecen ángulos, los cuales es posible relacionar en cuanto a sus dimensiones y a su posición en el plano.

Así, dos ángulos pueden ser entre sí complementarios, suplementarios o adyacentes.

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°

α + β son complementarios

α + β= 90°

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°

α + β son suplementarios

α + β = 180°

Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos están en la misma recta.

a es adyacente con b Û A, B, C son colineales (están en la misma recta), BD lado común para a y b

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Rectas secantes y paralelas

Como ya vimos, por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas que parten de un mismo punto.

Fijando nuestra atención en las rectas , sabemos que estas pueden ser secantes (que se cortan) o paralelas (que no se cortan nunca) .

Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada ángulo tiene dos lados y un vértice.

Esta construccción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados.

Ángulos opuestos por el vértice

Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice (V) .

α es opuesto por el vértice con β

γ es opuesto por el vértice con δ

Como podemos verificar en la fígura: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante

Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ángulos:

Esta distribución numérica nos permite carecterizar parejas de ángulos según su posición, haciendo notar que los ángulos 3, 4, 5 y 6 son interiores (o internos) y que los ángulos 1, 2, 7 y 8 son exteriores (o externos) respecto a las rectas:

Ángulos internos (3, 4, 5 y 6)

Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios (suman 180º)


Ángulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180º)	Ángulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180º)

Ángulos externos (1, 2, 7 y 8)

Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios .


Ángulos 1 y 7 son suplementarios (suman 180º)	Ángulos 2 y 8 son suplementarios (suman º80º)

Ángulos correspondientes :

Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.


1 y 5 son ángulos correspondientes (iguales), ∠ 1 = ∠ 5	2 y 6 son ángulos correspondientes (iguales) ∠ 2 = ∠ 6	3 y 7 son ángulos correspondientes (iguales) ∠ 3 = ∠ 7	4 y 8 son ángulos correspondientes (iguales) ∠ 4 = ∠ 8

Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos correspondientes es congruente entre sí.

Ángulos alternos internos :

Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.


3 y 6 son ángulos alternos internos ∠ 3 = ∠ 6	4 y 5 son ángulos alternos internos ∠ 4 = ∠ 5

Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos internos es congruente entre sí.

Ángulos alternos externos:

Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.


1 y 8 son ángulos alternos externos ∠ 1 = ∠ 8	2 y 7 son ángulos alternos externos ∠ 2 = ∠ 7

Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos externos es congruente entre sí.

Ángulos alternos externos. Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las gráficas de las funciones trigonométricas poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo entre otras.

Es necesario estudiar la forma de la gráfica de cada función trigonométrica. Esta forma está asociada a las características particulares de cada función. En la figura de abajo se presentan algunas gráficas de funciones trigonométricas.

Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se establecen relaciones como y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x). La expresión en el paréntesis se denomina argumento de la función (dominio) mientras que yrepresenta el alcance (imágenes).

Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (periodo). La extensión sobre el eje de y se conoce como alcance. Veamos cada función particular en detalle.

El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa.

Las Seis Funciones Trigonometrícas

Las dos funciones trigonometrícas básicas son: seno (que ya hemos estudiado), y coseno. Tomando proporciones y valores inversos de estas funciones, podemos obtener otras cuatro funciones, llamadas tangente, secante, cosecante, y cotangente.

Coseno

Volvamos a la bicicleta presentada en la sección anterior, y recordemos que el seno de

sen t,

se definió como la coordenada y una marca en la rueda. El coseno de un número real

representada con

cos t,

se define casi de la misma manera, excepto que esta vez, usamos la coodenada

de la marca en la rueda. (Vea la figura).

cos t
es definida por la coordenada
x
de la abscisa del punto
P
en la rueda.

Primero observa que las coordenadas del punto

en el diagrama anterior son

(cos t, sen t),

y que la distancia de

al punto de origen es 1 unidad. De la formula para la distacia en el capitulo 8 de Cálculo Aplicado al Mundo Real o capitulo 15 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real, tenemos:

(0, 0) = 1

(sen t)2 + (cos t)2 = 1

La ecución se puede expresar como

sen2t + cos2t = 1,

Esta ecuación es una de las relaciones importantes entre las funciones seno y coseno.

Identidad trigonométrica fundamental

sen2t + cos2t = 1

Ahora vemos la gráfica de la función coseno. La gráfica, como se podría esperar, es idéntica a la gráfica de la función seno, excepto que está desplazada por un "desplazamiento de fase" (vea la figura).

Esto da el siguiente nuevo par de identidades.

Nuevas relaciones entre seno y coseno
Se puede obtener la curva cosenoide desplazando la cueva senoide hacia la izquierda, una distancia igual a

π//2.

Por lo contrario, se puede obtener la cueva senoide de la curva cosenoide desplazandola

π//2

dos unidades a la derecha.

cos t = sen(t + π//2)

sen t = cos(t − π//2)

Formulación alternativa

También se puede obtener la cueva cosenoide invirtiendo primero la cuerva senoide de manera vertical (sustituyendo

por

−t

) y desplazándola hacia la derecha una distancia igual a

π//2.

Con esto obtenemos dos fórmulas alternativas (que son más fáciles de recordar):

cos t = sen(π//2 − t)

sen t = cos(π//2 − t)

Pregunta
Ya que se puede formular la función coseno en términos de la función seno, ¿para qué se necesita la función coseno?

Respuesta
Desde el punto de vista tecnico, para nada; no se necesita la función coseno, y nos podemos arreglar sólo con la función seno. Por otra parte, conviene tener a la mano la función coseno porque comienza en el punto máximo y no en cero. Estas dos funciones, y sus relaciones, desempeñan papeles importantes e las matemáticas.

La función coseno en general (Curva general de coseno)

Observa que el punto base está en el punto máximo de la cuerva. Todas las constantes tienen el mismo significado en la cueva senoide en general:

es la amplitud (la altura de cada punto máximo sobre la línea base).

es el desplazamiento vertical (la altura de la línea base).

es el periodo o longitud de onda (la longitud de cada ciclo).

es la frecuencia angular, y esta definida por

ω = 2π//P

es el desplazamiento de fase (el desplazamiento horizontal del punto de base; donde la curva alcanza su máximo)

Ejemplo 1 Flujo de caja en acciones

El flujo anual de efectivo en acciones (medido en porcentaje de activo totales), ha fluctuado en ciclos de unos 40 años desde 1955, cuando estaba en un punto máximo. Los máximos aproximados fueron

+15%

de los activos totales, mientras que los mínimos aproximados fueron

−10%

de los activos totales.*

(a)

t = 0

(b)

* Fuente: Investment Company Institute/The New York Times, 2 de febrero de 1997. p. F8.

Solución

(a) La representación del coseno se parece a la del seno; buscamos una función de la forma

P(t) = Acos[ω(t − α)] + C.

Amplitud

y desplazamiento

Ya que el flujo de efectivo fluctúa entre

−10%

+15%,

podemos expresar esto como una fluctuación de

A = 12.5,

respecto al promedio

C = 2.5.

Periodo

Según el enunciado,

P = 40.

Frecuencia angular

ω:

Esto se determina con la formula

ω = 2π//P = 2π//40 = π//20 ≈ 0.157.

Desplazamiento de fase α:
El punto base está en el punto máximo de la curva, y el dato es el flujo de caja que estaba en un punto máximo cunado

t = 0.

En consecuencia, el punto base está en

t = 0,

y por lo que

α = 0.

Al armar el modelo se obtiene

P(t) = Acos[ω(t − α)] + C

= 12.5cos(0.157t) + 2.5,

en donde

es el tiempo en años.

(b) Para pasar de una representación con coseno a una con seno se puede usar una de las ecuaciones antes dadas. Aquí, usemos la fórmula

cos x = sen(x + π//2).

En consecuencia,

P(t) = 12.5cos(0.157t) + 2.5

= 12.5sen(0.157t + π//2) + 2.5.

Las demás funciones trigonométricas

Como mencionamos anteriormente, podemos usar razones y recíprocas del seno y el coseno para obtener cuatro nuevas funciones con su propio nombre. Que son:

Tangente, Cotangente, Secante, y Cosecante

tan x =

sin x

cos x

tangente

cotan x =

cos x

sin x

tan x

cotangente

sec x =

cos x

secante

cosec x =

sin x

cosecante

Ejemplo 2

Usa la tecnología para graficar la curva de

y = secx

para

−2π/≤x≤2π/

Solución

Donde

sec x = 1/cos x,

podemos entrar esta función como

 
Y1 = 1/cos(x).

Para ajustar la ventana, vamos a usar

−2π/≤x≤2π/,

−7≤y≤7.

Aquí está la gráfica que se obtiene.

Pregunta
¿Qué hacen aquí las líneas verticales?

Respuesta
Ya que definimos la función secante como

secx = 1/cos x,

sabemos que no se define cuando el denominador es cero. Es decir, cuando

cos x = 0.

Consultando la gráfica de

cos x,

encontramos que esto ocurre cuando

x = ±π//2, ±3π//2, ±5π//2, ...

Por lo tanto, estos valores no estan en el dominio de la función secante. Además, cuando

tiene estos valores,

sec x

llega a ser muy grande numéricamente, pero cambia de signo cuando cruzamos estos valores, causando la calculadora gráfica hacer repentinos saltos de grandes valores negativos de y a grandes valores positivos. Por lo tanto, las líneas verticales son asíntotas.

Si has estudiado la sección en límites en el capítulo 3 de Cálculo Aolicado al Mundo Real, o capítulo 10 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aolicado al Mundo Real, reconocerás este fenómeno en términos de límites; Por ejemplo,

π//2−

sec x = ∞

π//2+

sec x = − ∞

Antes de seguir...

Aquí están las graficas de las cuatro funciones. Podrías intentar reproducirlas y pensar sobre las asíntotas

tan x = sen x/cos x

cotan ;x = cos x/sen x

sec x = 1/cos x

cosec x = 1/sen x

Las funciones trigonométricas como proporciones en un triángulo rectángulo

Volvamos a la figura que define el seno y el coseno, pero esta vez, pensemos de estas dos cantidades como longitudes de los lados de un triángulo rectángulo:

También pensamos en la cantidad t como una medida del ángulo que se muestra en lugar de la longitud de un arco. Mirando la figura, nos encontramos con que

sen t =

longitud del lado opuesto del ángulo

t =

opuesto

hipotenusa

cos t =

longitud del lado adyacente al ángulo

t =

adyacente

hipotenusa

tan t =

sen t

cos t

opuesto

adyacente

Esto nos da las seis fórmulas siguientes

Las funciones trigonométricas como proporciones en un triángulo rectángulo

Definición de la fórmula

Proporción en triángulo rectángulo

sen t =

coordenada

del punto

sen t =

opuesto

hipotenusa

cos t =

coordenada

del punto

cos t =

adyacente

hipotenusa

tan t =

sen t

cos t

tan t =

opuesto

adyacente

cotan t =

cos t

sen t

cotan t =

adyacente

opuesto

sec t =

cos t

sec t =

hipotenusa

adyacente

cosec t =

sen t

cosec t =

hipotenusa

opuesto

TIPOS DE FUNCIONES

Funciones

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito).

De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.

La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos.

Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla de valores (como el ejemplo anterior), mediante una expresión algebraica o, como veremos luego, mediante una gráfica.

Tipos de funciones

Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos100/matematicas-funciones-y-tipos-funciones/matematicas-funciones-y-tipos-funciones.shtml#ixzz4Jnhdnpfv

Dominio

El dominio de una función son todos los valores reales que la variable X puede tomar y la gráfica queda bien definida, es decir que no tiene hoyos o rupturas.

Se pueden expresar esos valores del dominio con notación de conjuntos ó intervalos.

Codominio

El codominio son todos los números reales que conforman el conjunto de los valores que puede tomar en determinado momento la variable “y” (los valores que podrían salir).

Rango

Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes.

Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".

La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba. O sea son los valores que tiene la variable “y” para determinados valores de x, en esa función (los valores que realmente salen).

Así que el rango es un subconjunto del codominio.

Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros (porque tú lo eliges así).

Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enteros pares.

Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares.

Ejemplo. En una escuela hay 10 salones numerados del 1 al 10. Mediante una función le asignamos un salón a cada niño. A Juan le corresponde el Salón 1 y a Pedro el Salón 7. Esa es la función.

El dominio es el conjunto formado por Juan y Pedro: el codominio son los 10 salones. El Rango son sólo los salones que tienen correspondientes; esto es, el Rango es el conjunto formado por los salones 1 y 7.

CÁLCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES

Vamos a calcular de forma numérica y gráfica el dominio y rango de varias funciones para fijar los conceptos anteriores.

FUNCIONES POLINOMICAS

Las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por cualquier número real que hayamos elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”.

Son funciones polinómicas : La recta (función lineal o afín), la parábola (función de segundo grado) y los polinomios de grado superior.

FUNCION LINEAL

EJERCICIO 1: Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3

Lo primero que hacemos es tabular valores de los pares ordenados x,y para representarlos
en el plano cartesiano:

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los punots para obtener la gráfica de nuestra función.

Como podemos ver, la gráfica es una línea recta. Este tipo de función se conoce como lineal y representa a los polinomios de grado 1.

Dominio de la función

Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los números reales (puede tomar cualquier valor negativo o positivo sin restricción alguna).

Dom f(x) = R o también puede expresarse Dom f(x) = (– ∞ , + ∞ )

Rango de la función

El Rango será también todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.

Rango = (– ∞ , + ∞ )

FUNCION CUADRATICA

EJERCICIO 2 : Determinar Dominio y Rango de f(x) = x2 - 2x – 3
Tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano:

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

Como podemos ver, la gráfica es una parábola. Este tipo de función se conoce como cuadrática y representa a los polinomios de grado 2.

Dominio de la función
Como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales (siempre tomará valores tanto negativos como positivos en el eje x).

Dom f(x) = R

Rango de la función

Note cómo la gráfica empieza a tomar valores en el eje y sólo a partir de un punto determinado. ¨Por lo tanto, en este caso, el rango ya no serán todos los reales.

Para hallar el Rango, debemos determinar a partir de qué punto la función empieza a tomar valores en el eje y.Esto ocurre en el vértice de la función.

El vértice de una función cuadrática se define como (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplazando valores tenemos que -b /2a = (-(-2) / 2(1)) = 1. Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(1) = 12 - 2(1) – 3 = 1- 2 - 3 = - 4

Por lo tanto, el vértice está en el punto (1, - 4).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4.

Rango = [– 4 , + ∞ )

* El paréntesis cerrado [ o ] significa que el valor está incluido en el intervalo.
* El paréntesis abierto ( o ]) significa que el valor no está incluido en el intervalo.

EJERCICIO 3: Determinar Dominio y Rango de f(x) = – x2 + 5x - 4

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

Dominio de la función

Todos los reales.

Dom f(x) = R

Rango de la función

Ahora hallemos el Rango, entonces, determinemos en qué punto se encuentra el vértice de la función.
El vértice está en (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplanzando valores tenemos que -b /2a =( - 5 / 2(-1)) = 5/2 (o 2,5). Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(5/2) = -(5/2)2 + 5(5/2) – 4 = -25/4 + 25/2 - 4 = 9/4 = 2,25

Por lo tanto, el vértice está en el punto (2.5; 2,25).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) desde menos infinito y llega hasta el vértice de la parábola (hasta Y = 2,25).

Rango = [– ∞ , 2.25 )

FUNCION CUBICA

EJERCICIO 4 : Determinar Dominio y Rango de f(x) = x3 – 6x2 + 8x

hora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

Como es una función polinómica de tercer grado el dominio será todo el conjunto de los números reales.

Dom f(x) = R

El Rango será también todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje “Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.

Rango = [– ∞ , ∞ )

FUNCIONES RACIONALES

Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación, una vez resuelta esa ecuación el dominio estará formado por todos los reales excepto las soluciones de la ecuación.

Dom f(x) = R -{los valores de x que me anulan el denominador (si los hay)}

EJERCICIO 5 : Determinar Dominio y Rango de

En este tipo de funciones, lo primero que hacemos es establecer si existen valores para los cuales la función no está definida. Recordemos que la división por cero no está definida en los reales. Para ello, igualamos el denominador a cero:

X – 3 = 0 , luego X = 3.

esto significa que para x=3 la función no está definida.

Por tanto, el dominio estará formado por todos los reales excepto para x=3. Es decir, habrá una asintota vertical en x=3 y además será punteada, porque la función se acerca a este valor pero nunca lo toca.

Dom f(x) = R – {3} ; También podemos expresar el Dominio como

Dom f(x) = (– ∞ , 3) U (3 , + ∞ )

Ahora tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano y ver qué forma tiene nuestra gráfica

Para calcular el valor del Rango, vamos ahora a despejar a X y averiguar si existen valores de "y" para los cuales no esté definida la función. Para ello vamos a reemplazar f(x) por y, para simplificar las operaciones:

Para que se cumpla la regla de que el denominador sea diferente de cero, hacemos que y -1=0 , de donde tenemos que Y =1. Esto significa que habrá una asíntota horizontal (punteada) en y=1, lo cual significa que la función se acercará cada vez más a este valor pero nunca lo tocará.
Esto podemos comprobarlo fácilmente en la gráfica.

Luego, la función estará definida en todos los valores de Y menos en “y = 1”.

Rango = R – {1} ; (– ∞ , 1) U (1 , + ∞ )

EJERCICIO 6 : Determinar Dominio y Rango de

Lo primero que tenemos que determinar los valores para los cuales no está definida la función. para ello igualamos el denominador a cero :

X – 1 = 0 ; X = 1

Por tanto, el dominio estará formado por todos los reales excepto para x=1. Es decir, habrá una asíntota vertical en x=3 y además será punteada, porque la función se acerca a este valor pero nunca lo toca.

El dominio estará formado por todos los reales excepto en x=1.

Dom f(x) = R – {1} ; (– ∞ , 1) U (1 , + ∞ )

Antes de tabular valores, lo primero que tenemos que mirar es si se puede simplificar o no la función.

En el numerador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos que podemos expresar como (x -1) (x +1), la cual podemos simplificar. Así:

Tenemos finalmente que y = x+1 (esto significa que nuestra gráfica será una recta discontinua en x = 1).

Ahora tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano y ver qué forma tiene nuestra gráfica

Cálculo del rango

Esta gráfica presenta un “hueco” en “Y = 2”, Luego la función estará definida en todos los valores de Y excepto en “Y = 2”.

Rango = R – {2} ; (– ∞ , 2) U (2 , + ∞ )

EJERCICIO 7. Determinar Dominio y Rango de

Como sabemos, el denominador no puede ser igual a cero, porque la función no tendría solución, luego lo primero que haremos es Igualar a cero el denominador para establecer que valores arrojan como valor cero:

2x2 – 8 = 0

2x2 = 8

x2 = 8/2

x2 = 4

de donde obtenemos que las raices son : X = -2 y X = 2. Estos son los valores para los cuales no está definido el denominador.

Entonces, El dominio estará formado por todos los reales excepto los números “2” y “ -2”
Dom f(x) = R – {-2,2} ; (– ∞ , -2) U (-2,2) U (2 , + ∞ )

Tabulamos algunos valores para graficar nuestra función.

Ahora vamos a establecer si hay valores de y para los cuales la función no esté definida. Para ello despejamos la variable x:

La gráfica presenta una asíntota horizontal en “Y = 2”, pero además podemos notar que la curva que está debajo del eje “X” corta al eje “Y” en el punto (0,-0.5). Luego el Rango será:

Rango = (– ∞ , -0.5] U (2 , + ∞ )

Verifique que los valores de “Y” entre “Y = -0.5” y “Y = 2” no están señalados en la gráfica, por lo tanto no pertenecen al Rango.

EJERCICIO 8. Determinar Dominio y Rango de

Igualamos a cero el denominador. Como podemos ver, no existe ningún valor para el cual x sea igual a cero, es decir x puede tomar cualquier valor en R. Por lo tanto, el Dominio estará representado por todos los números reales.
Dom f(x) = R

Ahora vamos a establecer si hay valores de y para los cuales la función no esté definida. Para ello despejamos la variable x:

La gráfica presenta una asíntota horizontal en “Y = 2”, pero además podemos notar que la curva corta al eje “Y” en el punto (0,0.5). Luego el Rango será :

Rango = [ 0.5 , 2 )

FUNCIONES IRRACIONALES

Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente.

Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de X siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando.

Pero si el radical tiene índice par, para los valores de X que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen.

Cuando queremos hallar el dominio de este tipo de funciones lo primero que debemos hacer estomar lo que hay dentro de la raíz y hacer que sea mayor o igual que cero. A continuación se resuelve esa inecuación y la solución de dicha inecuación conforma el dominio de la función.

EJERCICIO 9. Determinar Dominio y Rango de

Raíz de índice impar :
Dom f(x) = R

Rango = R

EJERCICIO 10. Determinar Dominio y Rango de

Cuando queremos hallar el dominio de este tipo de funciones lo primero que debemos hacer es tomar lo que hay dentro de la raíz y hacer que sea mayor o igual que cero. A continuación se resuelve esa inecuación y
la solución de dicha inecuación conforma el dominio de la función.

X + 3 ≥ 0 ; X ≥ – 3

Dom f(x) = [ – 3 , + ∞ )

Cálculo del rángo
Al observar la gráfica, vemos que esta toma valores en el eje y a partir de 0 y crece indefinidamente. Por lo tanto:

Rango = [ 0 , + ∞ )

EJERCICIO 11. Determinar Dominio y Rango de

Tomamos lo que hay dentro de la raíz y hacemos que sea mayor o igual que cero. A continuación se resuelve esa inecuación y la solución de dicha inecuación conforma el dominio de la función.

- 2X + 4 ≥ 0 ; -2X ≥ – 4 por menos uno ; 2X ≤ 4 ; X ≤ 2

Dom f(x) = (– ∞ , 2 ]

Cálculo del rángo

Al observar la gráfica, vemos que esta toma valores en el eje y a partir de 0 y crece indefinidamente. Por lo tanto:
Rango = [ 0 , + ∞ )

http://matematicasdelbachillerato.blogspot.com.co/p/funciones-dominio-rango-y-graficas.html

REPASO ÁLGEBRA BÁSICA

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

Hay que factorizar todo lo que se pueda, tanto en el numerador como en el denominador. En el numerador apliqué el 5to Caso (Diferencia de Cuadrados); y en el denominador, el 1er Caso (Factor Común).
Luego, se simplifican los polinomios que "aparezcan repetidos", siempre tachando "uno de arriba con uno de abajo", como en este caso el binomio (x - 2).
Condición para simplificar: x desigual a 2.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: ("Cuando se cancela todo el denominador")

En este ejemplo se simplificó el único polinomio que había en el denominador. El resultado es lo que queda sin tachar en el numerador de la fracción.
Condición para simplificar: x desigual a -3.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: ("Cuando se cancela todo el numerador")

En este ejemplo se simplificó el único polinomio que había en el numerador. Entonces la fracción queda con un "1" como numerador.
Condición para simplificar: x desigual a -4.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Se simplifica un polinomio que está elevado al cuadrado)

Hay un polinomio al cuadrado que se puede simplicar con otro. Tacho el "2" del cuadrado y tacho el otro polinomio.
Condición para simplificar: x desigual a 3.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: ("Cuando se simplifica la x")

Después de factorizar, queda la "x" (o cualquier letra del polinomio) multiplicando tanto en el numerador como en el denominador, entonces se puede simplicar.
Condición para simplificar: x desigual a 0.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: ("Cuando quedan números para simplicar")

Después de factorizar, quedan números multiplicando tanto en el numerador como en el denominador. El "6" y el "8" se pueden simplificar dividiendo por 2 (como en las fracciones numéricas).
Condición para simplificar: ninguna.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: ("Cuando los números que quedan son fracciones")

Después de factorizar, quedan fracciones multiplicando en el numerador y en el denominador. Se puede dividir la fracción de "arriba" con la de "abajo" para que quede una sola fracción en el resultado. Aquí dividí 1/2 : 1/3 = 3/2.
Condición para simplificar: ninguna.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

MÁS EJEMPLOS:

EJEMPLO 8:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

EJEMPLO 9:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9

EJEMPLO 10:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10

EJEMPLO 11:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11

EJEMPLO 12:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

¿Cómo se simplifica en una fracción "con polinomios arriba y abajo"?

Como ya comenté antes, el conjunto de los polinomios "se comporta" igual que el conjunto de los Números Enteros (

). Eso quiere decir que, "lo mismo que se hace con los números enteros se puede hacer con los polinomios". Veamos entonces lo que ya se sabe que podemos hacer con los números enteros para comparar ambos temas. Supongamos que tenemos la siguiente fracción con números enteros multiplicando en el numerador y en el denominador:

Sabemos que se pueden simplificar los números que se encuentren repetidos, "uno de arriba con uno de abajo" (no lo sabía ¿por qué se puede?). Así, tachamos "el 2 con el 2", "el 3 con el 3" y el "5 con el 5":

7 (Lo único que no se simplificó fue el 7) (¿por qué quedó 7?)

Con los polinomios vamos a hacer lo mismo: Si "arriba y abajo" de la fracción hay un mismo polinomio multiplicando o solo (¿por qué cuando está solo?: ver EJEMPLO 3), puedo simplificarlos. Es decir: cancelar uno con uno.

Nota: esta simplificación de polinomios no vale para cualquier valor de la x (o la letra que tenga el polinomio). Esta simplificación no vale para valores de x que hagan que el polinomio dé cero, al igual que no valdría simplificar el número cero en una fracción numérica (¿por qué?). En Nivel Medio puede que no te pidan que aclares esto, pero antes de simplificar habría que aclararlo (cómo sería eso).

Por ejemplo:

Aquí puedo "tachar" el (x + 1) que está multiplicando "arriba" con el (x + 1) que está multiplicando "abajo". Lo mismo con el (x - 5), y también con el (x² + 1). Así:

Luego, solo quedan sin tachar el (x - 3) arriba y el (x + 5). El resultado es:

Por supuesto que los resultados pueden tener distinta forma, dependiendo si se simplifica todo arriba, todo abajo, si hay números multiplicando también, etc. Todas esas posibilidades se contemplan en los diferentes EJEMPLOS que expuse arriba, y son explicadas en cada apartado.

Puede observarse también que en este ejemplo todos los polinomios que puse son "binomios", y casi todos de grado 1. Elegí ese tipo de polinomios porque es con lo que nos vamos a encontrar la mayoría de las veces en este tema. Pero también se pueden simplificar polinomios de grado más alto, o "letras solas" que estén multiplicando (monomios), o números que queden multiplicando (polinomios de grado 0). Esas variantes se ven y explican en los EJEMPLOS que dí arriba en esta página.

Ahora bien: los ejercicios que nos dan para resolver no tienen en un principio binomios repetidos multiplicando arriba y abajo como en el ejemplo anterior. Son más bien así:

Pero si factorizamos los polinomios en el numerador y en el denominador (los que se puedan factorizar), llegaremos a la forma que tiene el ejemplo que dí:

Ahora sí tenemos "polinomios multiplicando arriba y abajo". Y es porque al factorizar estamos transformando en multiplicación. Y justamente, el que queden multiplicando, es lo que nos permite simplificar los "polinomios repetidos", tal como decía que hacemos con los número enteros:

Hagamos una analogía entre esta situación (que los polinomios no están factorizados en un principio) y la simplificación de las fracciones numéricas. Si tenemos que simplificar una fracción con números compuestos (¿qué son los números compuestos?), los podemos descomponer (¡que también se le llama "factorizar"!), y luego "tachar" los factores repetidos. Por ejemplo:

$fracciones$

Descomponer los números en sus factores primos sería lo análogo a factorizar los polinomios:

24 = 2.2.2.3

20 = 2.2.5

La fracción entonces queda así:

Donde podemos simplificar así:

Como en general no hacemos esto para simplificar fracciones numéricas (sino que dividimos el numerador y el denominador por un mismo número), la analogía puede no resultarnos tan evidente.

Los polinomios que factorizamos ¡también son compuestos!, y los estamos factorizando "en sus factores primos", tal como a los números enteros (¿primos y compuestos?).

¿Por qué en una fracción se puede simplificar "algo que está multiplicando arriba con algo que está multiplicando abajo?

Ya hablé de esto en otro apartado (Ver aquí), pero allí expliqué más que nada el "cómo" simplificar. Ahora voy a tratar de justificar un poco más a fondo el "por qué". Usemos el siguiente ejemplo

Esa fracción equivale a la siguiente operación:

(2.3.5):(2.7)

ya que la línea de fracción representa división. En (2.3.5), estamos multiplicando por 2 a (3.5) (la multiplicación "es asociativa"). Luego, al dividir por (2.7), estamos dividiendo por 2 y dividiendo por 7, ya que hay una propiedad de los números enteros que dice algo así:

a:(b.c) = (a:b):c

Es decir, dividir por una multiplicación es lo mismo que dividir por uno de los factores, y al resultado dividirlo por el otro. No voy a ahondar en esto: simplemente lo estoy usando para justificar que en el ejemplo estoy multiplicando por 2 y luego dividiendo por 2. Y si multiplico y divido por el mismo número (distinto de cero, aclaremos), es lo mismo que si no hiciera nada: como son operaciones opuestas, vuelvo al resultado inicial. Si vuelvo al resultado inicial, entonces puedo no hacer nada, y por eso puedo "tachar" los dos números y no hacer nada. Eso es simplificar. Tachar algo porque no hace falta hacer nada con ello, ya que si lo hiciera no cambiaría el resultado.

En el caso particular en que haya un solo número arriba o abajo, podemos pensar igual que ese número está multiplicando: está multiplicando a "1". Por ejemplo:

¿Por qué es 7 el resultado primer ejemplo que dí?

En el ejemplo que dí arriba:

simplifiqué todo menos el 7. Al simplificar, cada número que tacho queda en 1. Porque recordemos que otra forma de pensar la simplificación (la más común) es: "divido el de arriba y el de abajo por el mismo número". Si a 2 lo divido por 2 me queda 1. Lo mismo con el 2 de abajo. Y lo mismo con los dos "3" y los dos "5". Se suele poner así:

1 1 1

1 1 1

Entonces, arriba me queda: 1.1.7.1 = 7. Y abajo, 1.1.1 = 1. El resultado es la fracción 7/1, que es igual a 7.

¿Se puede simplificar cualquier número?

No, el cero no se puede simplificar de esta manera. En un principio, por el hecho de que "no se puede dividir por cero" o "la división por cero no está permitida", nunca en una fracción numérica voy a encontrar un ejercicio así:

Porque es esa fracción el cero está dividiendo, y eso no se puede. En cuanto a simplificar, habíamos dicho que se podía porque "multiplicar por un número y luego dividir por ese mismo número es lo mismo que no hacer nada, ya que el resultado no cambia". Eso pasa con todos los números, con excepción del cero. Porque por cero no se puede dividir. Por ejemplo:

(7.2):2 = 7

Puedo simplificar el 2 con el 2, porque el resultado es 7; entonces no hace falta multiplicar por 2 y dividir por 2, porque es lo mismo no hacerlo: dá el mismo resultado si no haga nada. En cambio:

(7.0):0 no es igual a 7. Ni siquiera se puede calcular, porque no se puede dividir por cero. Entonces no puedo simplificar el cero; ya que si simplifico, el resultado sería 7; pero eso no es verdad: no dá 7 esa cuenta, esa cuenta no se puede hacer: no tiene resultado.

Por eso, cuando simplifico polinomios, tengo que aclarar que la simplificación vale solamente para todos los valores de la x (o la letra del polinomio) que no hagan que el polinomio dé cero. A ver con un ejemplo si se entiende mejor:

Allí se pueden simplificar los (x - 3), siempre que (x - 3) no valga cero. Por lo que dijimos antes. ¿Y cuándo (x - 3) vale cero?: cuando la x vale 3. Porque (3 - 3) = 0. Entonces, debo aclarar que vale simplificación para todo valor de x desigual a 3:

En el ejemplo que dí más arriba:

La simplificación vale para todo x desigual a -1 y 5:

¿Por qué?

a) Porque puedo simplificar a los (x + 1) siempre que no valgan cero. Y (x + 1) vale cero cuando x = -1. Ya que (-1 + 1) = 0. ¿Y si no me doy cuenta "mentalmente" cuál es el valor de x que hace que dé cero? Entonces planteo la siguiente ecuación y la resuelvo:

x + 1 = 0
x = 0 - 1
x = -1

Así puedo encontrar el número si no me doy cuenta.

b) Y puedo simplificar a los (x - 5) siempre que no valgan cero. Y (x - 5) vale cero cuando
x = 5. Ya que (5 - 5) = 0. Para averiguar ese número podría haber hecho:

x - 5 = 0
x = 0 + 5
x = 5

c) Y puedo simplificar a los (x² + 1) siempre que no valgan cero. Pero resulta que (x² + 1) no puede valer cero: no hay ningún valor de x que haga que (x² + 1) sea igual a cero. Y para averiguar eso podría haber hecho:

x² + 1 = 0
x² = 0 - 1
x² = -1

Y esa ecuación no tiene solución, ya que no hay ningún número (dentro de los conjuntos con los que trabajamos: Enteros, Racionales, Reales) que elevado al cuadrado dé como resultado -1. (O "no se puede calcular la raíz cuadrada de -1". La calculadora dá "error")
Entonces, el (x² + 1) lo podemos simplificar siempre, para cualquier valor de x. No hace falta aclarar nada respecto a esa simplificación: vale para todos los valores de x.

De los puntos a), b) y c), concluimos que la simplificación de los polinomios repetidos en ese ejercicio vale para todo número distinto de -1 y 5.

Propiedad asociativa de la multiplicación:

(a.b).c = a.(b.c) = a.b.c

Es decir, si tengo el producto de varios factores, puedo "asociarlos" de distinta manera, es decir: hacer las multiplicaciones en distinto orden, pero el resultado al que llego es el mismo. Por ejemplo:

(2.3).5 = 6.5 = 30

2.(3.5) = 2.15 = 30

2.3.5 = 30

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: MULTIPLICACIÓN / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

Primero hay que factorizar totalmente a todos los polinomios que se puedan en ambas fracciones. Luego, se simplifican los polinomios que "aparezcan repetidos", siempre tachando "uno de arriba con uno de abajo", como en este caso el binomio (x + 3), que está en el denominador de la primera fracción y en el numerador de la segunda. Finalmente hay que multiplicar las fracciones que quedaron, del mismo modo que se multiplican las fracciones numéricas: numerador con numerador, y denominador con denominador.
Y si lo piden, aclarar que la simplificación vale solamente para x ≠ 3.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2:

1 1

2.(x + 1)

En este ejemplo se simplificó todo lo que había en los denominadores.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3:

1 1

En este ejemplo se simplificó todo lo que había en los numeradores.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6:

1 1

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

EJEMPLO 8:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8

EJEMPLO 9:

1
1 1 3 1 4

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

¿Cómo se multiplican las fracciones "con polinomios arriba y/o abajo"?

Hay que multiplicar "lo de arriba por lo de arriba" y "lo de abajo por lo de abajo", igual que como lo hacíamos con las fracciones numéricas. Recordemos con un ejemplo:

En general sería:

Pero también, si podíamos, nos convenía simplificar antes de multiplicar. Y se podía simplificar "alguno de arriba con alguno de abajo". Por ejemplo:

3

1
Allí pude simplificar el 6 que estaba "arriba" con el 2 que estaba "abajo". Y luego multipliqué.

Con las fracciones con polinomios hay que hacer lo mismo. Pero en este tema casi siempre encontraremos polinomios que se pueden factorizar, entonces conviene hacerlo para encontrar más "cosas" (factores) para simplificar, como ya vimos en la parte deSIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

Los pasos serían entonces, en la mayoría de los ejercicios, los siguientes:

1) Factorizar totalmente todos los polinomios que se puedan

2) Simplificar todo lo que se pueda, siempre "uno de arriba con uno de abajo" de cualquier fracción. (más sobre simplificar en SIMPLIFICACIÓN)

3) Multiplicar los polinomios que quedaron "arriba". Y multiplicar los que quedaron "abajo". El resultado es una fracción cuyo numerador es igual a la multiplicación de "los de arriba", y cuyo denominador es igual a la multiplicación de "los de abajo". Tal como en se hace con la multiplicación de las fracciones numéricas.

EJEMPLOS:

En este ejemplo no hay nada para factorizar
1

Se puede simpliflicar el (x + 3) de arriba con el de abajo
1

Luego se multiplican los numeradores entre sí, y lo mismo con los denominadores

Se puede factorizar el polinomio x² - 4

Luego de factorizar vemos que el polinomio (x - 2) se repite
1

Simplifico los (x - 2), ya uno está "arriba" y el otro "abajo"

Luego de multiplicar numeradores entre sí, y denominadores entre sí.

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: DIVISIÓN

EJEMPLO:

1 1

3.(x - 2)

Se cambia la división por multiplicación, y se invierte la segunda fracción. Luego se procede como en una multiplicación de fracciones.
Y si lo piden, aclaremos que la simplificación vale para todo x ≠ -2 y x ≠ 5.

EXPLICACIÓN:

1) Transformar la división en una multiplicación, invirtiendo la segunda fracción:

Cambié el signo de división por el de multiplicación, y "dí vuelta" la segunda fracción. (¿y no se puede hacer de otra forma?) Porque, dividir por una fracción, es equivalente a multiplicar por la fracción inversa (¿qué es la fracción inversa?).

2) Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar losCasos de Factoreo), y los reemplazo en la fracción que corresponda:

x² - 4 =      con el Quinto Caso de Factoreo (Diferencia de Cuadrados)
x      2

(x + 2).(x - 2)

3x - 15 =     con el Primer Caso de Factoreo (Factor Común)

3.(x - 5)

Y luego de factorizar todo lo posible, reemplazo en las fracciones a los polinomios que estaban sin factorizar por sus equivalentes factorizados. Queda así:

2) Simplificar:

Como ahora la operación es una multiplicación, puedo simplicar como se hace en las multiplicaciones. Aquí, el polinomio (x + 2) está "repetido": aparece en el numerador de la primera fracción, y en el denominador de la segunda. Y el polinomio (x - 5) también está repetido: aparece en el denominador de la primera fracción, y en el numerador de la segunda. Entonces puedo simplificarlos, ya que en la multiplicación de fracciones se simplifica de esa manera: "uno de arriba con uno de abajo". (en el apartado dedicado a la SIMPLIFICACIÓN ya expliqué cómo se simplifican los polinomios)

1 1

En los denominadores de ambas fracciones se me hace necesario poner el "1" que queda cuando se simplifica, porque no quedó nada más en los denominadores de esas fracciones, y algo hay que poner para saber luego qué es lo que estamos multiplicando. (más sobre esto)

Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:

x + 2 ≠ 0
x ≠ -2 (¿por qué?)

x - 5 ≠ 0
x ≠ 5

3) Multiplicar:

Luego de simpilficar, las dos fracciones ("pasadas en limpio") quedaron así:

(Este paso no es necesario, se puede obviar)

Ahora multiplico lo que quedó: "lo de arriba con lo de arriba y lo de abajo con lo de abajo". El resultado es una fracción formada por ambos resultados:

(Este paso tampoco es imprescindible)

= (Queda mejor con el "3" adelante) (Otro paso que se puede obviar)

3.(x - 2)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

¿Cómo se dividen las fracciones "con polinomios arriba y/o abajo"?

Recordemos que para dividir las fracciones numéricas, podíamos "transformar en multiplicación dando vuelta la segunda fracción". Por ejemplo, hacíamos así:

Bueno, para dividir las Expresiones Algebraicas Racionales, se suele usar ese mismo procedimiento. Por ejemplo:

Una vez transformada la operación en una multiplicación, se aplica todo lo que ya vió para multiplicación: simplificar y multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí.
Así que, la diferencia con la multiplicación es sólo un paso donde se invierte la segunda fracción. Una vez que se aprendió a multiplicar, ya se sabe todo lo necesario para dividir.
(Todo sobre multiplicación de expresiones algebraicas racionales)

¿Y no se podría hacer con el otro método para dividir fracciones?

Sí, por supuesto. Recordemos que el otro método para dividir fracciones numéricas era "multiplicar cruzado", así:

Es decir: se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda. El resultado es la fracción formada por ambos resultados.
Pero en este tema de las fracciones con polinomios, casi siempre tendremos que simplificar antes de multiplicar. Entonces, conviene recordar cómo se puede simplificar en una división: "numerador con numerador o denominador con denominador" (lo contrario de lo que se hace en la multiplicación de fracciones). Lo muestro en un ejemplo numérico:

1 4

Y acá muestro cómo sería con el EJEMPLO de fracciones con polinomios:

no lo transformo en multiplicación, no invierto la segunda fracción

simplifico como se debe en una división

aplico la regla para la división de fracciones: producto cruzado

3.(x - 2)

¿Qué es la "fracción inversa" de una fracción?
Podemos decir que es la fracción "al revés" de ella. Por ejemplo, la fracción inversa de 2/5 es 5/2. La fracción inversa de 4/7 es 7/4.

2/5 y 5/2 son fracciones inversas entre sí

4/7 y 7/4 son fracciones inversas entre sí

Es decir, es la que tiene en el numerador el denominador de la otra; y tiene en el denominador, el numerador de la otra: "Tiene los números cambiados de lugar", "el de arriba lo tiene abajo, y el de abajo lo tiene arriba".

Y cuando multiplico dos fracciones inversas entre sí, el resultado es 1:

2/5 x 5/2 = 1

4/7 x 7/4 = 1

A una fracción que es inversa de otra se le llama "el inverso multiplicativo". El "inverso multiplicativo" de un número real es otro número tal que, multiplicado por el primero, dé como resultado "1". Todos los números reales tienen inverso multiplicativo, con excepción del cero.

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: SUMAS Y RESTAS / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Suma de fracciones con igual denominador)

3

Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores; tal como se hace con la suma de fracciones numéricas de igual denominador.
Y si lo piden, aclaremos que la simplificación vale para todo x ≠ -2.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Resta de fracciones con igual denominador)

Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores. Si el segundo numerador tiene más de un término, hay que ponerlo entre paréntesis para restarlo, ya que es signo menos afectará a todos los términos.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con denominadores distintos)

En este ejemplo el denominador común es el producto de los dos denominadores. Luego se procede como en la suma de fracciones numéricas: se divide al denominador común por el denominador de la primera fracción, y al resultado se lo multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fracción. Y luego se trabaja en el numerador para llegar a la mínima expresión.
No siempre el denominador común es el producto de los dos denominadores. En realidad hay que buscar el mínimo común múltiplo entre ellos. Pero, en ejemplos como éste, el m.c.m es el produco de los denominadores. En los siguientes ejemplos se verá cómo calcular el m.c.m. en todos los otros casos. Para una explicación detallada de este ejemplo entrar en el siguiente enlace:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Con denominadores factorizables)

Primero hay que factorizar los denominadores que se puedan. El denominador común va a ser el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores de las fracciones, como en la suma o resta de fracciones numéricas. El m.c.m. entre polinomios se calcula de la misma forma que el m.c.m entre números: es el producto de todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevados a la mayor potencia con que aparecen.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

MÁS EJEMPLOS: Los EJEMPLOS desde el 7 hasta el 14 están en otra página, para que no tarden tanto en cargarse las imágenes:

PAGINA 2 - EJEMPLOS RESUELTOS DESDE EL 7 AL 14

TEMA RELACIONADO: CALCULO DEL MINIMO COMUN MULTIPLO (MCM) ENTRE NUMEROS

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

¿Cómo se suman y/o restan las fracciones "con polinomios arriba y/o abajo"?

Igual que se suman y/o restan las fracciones numéricas: se busca un denominador común, y luego se sigue el procedimiento que ya es conocido para sumar fracciones numéricas. Recordémoslo con un ejemplo:

1) Se busca un denominador común, que debe ser el llamado Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores. El m.c.m. de 4 y 6 es 12 (¿cómo se calcula el m.c.m. entre números?). Porque 12 es divisible por 4 y por 6, y es el menor número que cumple con eso. A veces, ese m.c.m. es el producto de los dos denominadores, por ejemplo si ellos fueran 3 y 7, el m.c.m es 3.7 = 21.

2) Luego se divide a éste por los denominadores de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente:

12:4 = 3 y se multiplica por el numerador: 5.3 = 15

12:6 = 2 y se multiplica por el numerador: 1.2 = 2

3) Finalmente se hace la operación indicada en el numerador: suma o resta. Y si se puede, simplificamos la fracción que nos dá como resultado.

Con las fracciones polinómicas tenemos que hacer lo mismo. Voy a mostrar, con un ejemplo, cómo es en general el procedimiento. Pero para entender cómo hacer cualquier ejercicio será necesario ver varios ejemplos de los que presenté en esta página y leer sus respectivas explicaciones.

1) El denominador común entre (x + 2) y (x - 3) es el m.c.m. entre esos polinomios, que en este caso es el producto de ambos: (x + 2).(x - 3). Ya en otro apartado explicaré en detalle cómo calcular el m.c.m. entre polinomios (ver aquí).

2) Luego se divide el denominador común por el numerador de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente:

En la primera fracción:

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2) es igual a (x - 3). Y se multiplica el resultado por el numerador: x.(x - 3).

(Luego explicaré cómo se hacen esas divisiones: Ver aquí. Pero si se dan cuenta pueden ir observando que se "cancela" el polinomio por el cual se está dividiendo, y queda el otro).

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3) es igual a (x + 2). Y se multiplica el resultado por el numerador: 2.(x + 2).

Y luego se efectúan las multiplicaciones, que a veces requieren de aplicar la propiedad distributiva:

3) Luego se hace la operación indicada en el numerador. En este ejemplo es una suma, así que hay que sumar los dos polinomios que quedaron: (x² - 3x) + (2x + 4). Recordemos que en la suma de polinomios se suman los términos de igual grado.
En este tema ya no es necesario interpretar que en el numerador hay una suma o resta de polinomios: simplemente se pueden quitar los paréntesis y "juntar" los términos de igual grado, para llegar a la mínima expresión del polinomio (es decir, que sólo haya un término de cada grado). En este ejemplo "junté" el -3x con el 2x, para que quede un sólo término de grado 1: -x

Luego, si en el numerador se pudiera aplicar un Caso de Factoreo, se hace. Porque en la factorización podría aparecer polinomio que se podría simplificar con uno del denominador. En este ejemplo en particular no se puede factorizar a x² - x + 4 por ningún Caso de Factoreo.

En los 14 EJEMPLOS que presenté en esta página, se puede ver la variedad de situaciones que se presentan a la hora de buscar denominador común. En los enlaces de EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO se puede encontrar una detallada descripción de todos los pasos a seguir en cada ejercicio, cómo se halló el denominador común o m.c.m., etc.

¿Cómo se determina el denominador común entre dos fracciones con polinomios?

El denominador común a usar en una suma o resta de fracciones es siempre el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre todos los denominadores de las fracciones que se están sumando y restando. Como ya dije antes, en otra sección explicaré cómo hallar el m.c.m. entre polinomios (ver aquí). Pero por ahora, podemos ver algunos casos particulares en donde hallar el denominador común es muy fácil, y no requiere saber calcular el m.c.m. entre polinomios.

1) Cuando los denominadores de las fracciones son iguales: Igual que en la suma de las fracciones numéricas, si los denominadores son iguales, el denominador común es ése denominador. Por ejemplo:

En el EJEMPLO 1 presentado en esta página se puede ver esta situación en una suma de fracciones con polinomios

2) Cuando alguno de los términos no tiene denominador: El denominador común es el el único denominador que hay. Por ejemplo:

En el EJEMPLO 12 presentado en esta página se puede ver esta situación en una suma de fracciones con polinomios

3) Cuando los denominadores son polinomios distintos y que no se pueden factorizar: El denominador común es el producto de ambos polinomios. Por ejemplo:

4) Cuando los denominadores tienen un solo término, y es la misma letra aunque con distinto exponente: El denominador común es esa letra con el mayor exponente:

Éstas, y el resto de las situaciones están explicadas en detalle en los 14 Ejemplos presentados en esta página.

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OPERACIONES COMBINADAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

Como en cualquier ejercicio de operaciones combinadas, el paréntesis me está indicando que primero resuelva la suma que está dentro, y luego multiplique el resultado por la fracción que está fuera del paréntesis. Antes de multiplicar factorizo y simplifico lo que se pueda.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2:

Son dos términos: una multiplicación en el primero, y el 1 en el segundo. Como en cualquier ejercicio de operaciones combinadas, se resuelve cada término y luego se suman o se restan.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE OPERACIONES COMBINADAS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

¿Cómo se resuelven los ejercicios combinados de expresiones algebraicas?

Como los ejercicios combinados de conjuntos numéricos: Se separa en términos, los paréntesis, corchetes y llaves están para indicar que primero hay que resolver lo que está dentro de ellos, las operaciones tienen la misma prioridad: Primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y restas, etc. Es decir que se puede ver a cada fracción con polinomios como si fuera una fracción numérica en un ejercicio combinado con fracciones numéricas, y trabajar con ellas de la misma forma.

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ECUACIONES RACIONALES / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)

3 + x² + x + 2x + 2 = x² - x

x² + 3x - x² + x = -2 - 3

4x = -5

x = -5/4

Condición de existencia: x ≠ 1 y x ≠ -1

Conjunto solución: {-5/4}
Una de las formas de resolver estas ecuaciones es buscando un denominador común entre todos los denominadores de las fracciones de ambos miembros (ver otros métodos). En la EXPLICACIÓN mostraré otras formas de resolver esta ecuación.
Luego de buscar el denominador común y modificar los numeradores como se hace en la suma de fracciones, se pueden cancelar los denominadores de ambos miembros, ya que son iguales. Entonces sólo queda una ecuación entre los numeradores, la cual ya no es racional. Y hay que aclarar la Condición de existencia, es decir qué valores no puede tomar la x, ya que los denominadores deben ser desiguales a 0. Luego, la solución que se encontró tiene que cumplir con la Condición de existencia, sino no es solución de la ecuación.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Uno de los miembros es un solo número)

(x + 2).(x + 3) + 3 = 1.(x + 3)²

x² + 3x + 2x + 6 + 3 = x² + 6x + 9

x² + 5x - x² - 6x = 9 - 6 - 3

-x = 0

x = 0

Condición de existencia: x ≠ -3

Conjunto solución: {0}
En el segundo miembro hay sólo un número entero, no una fracción ni operaciones. En este ejercicio sería más práctico usar otro de los métodos para resolver estas ecuaciones (ver métodos), y en la EXPLICACIÓN lo muestro también resuelto de esa manera.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (La ecuación es una proporción)

(7 + x).(x + 2) = (x + 3).(x + 5)

7x + 14 + x² + 2x = x² + 5x + 3x + 15

9x + x² - x² - 5x - 3x = 15 - 14

x + x² - x² = 1

x = 1

Condición de existencia: x ≠ -5 y x ≠ -2.

Conjunto solución: {1}
Esta ecuación es una proporción: la igualdad de dos fracciones o "razones". La forma más práctica de resolverla sería usar la Propiedad fundamental de las proporciones, pero aquí usé en mismo método que vengo usando en todos los ejemplos (en general se aprende un sólo método y hay que saber aplicarlo en cualquier ejemplo). Pero en la EXPLICACIÓN lo muestro resuelto usando la mencionada propiedad.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Uno de los miembros es el número cero)

(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0

x² + 2x + 5x + 10 - (x² - 2x - 4x + 8) = 0

x² + 7x + 10 - x² + 2x + 4x - 8 = 0

13x = 0 + 8 - 10

13x = -2

x = -2/13

Condición de existencia: x ≠ 2 y x ≠ -2.

Conjunto solución: {-2/13}
Caso particular en que uno de los dos miembros es cero. Aquí no hace falta poner el denominador común en el segundo miembro, aunque podría hacerse. En realidad, si una fracción es igual a cero, es porque su numerador es igual a cero, sin que importe el denominador (que no puede ser cero, por supuesto). Usando este concepto es que se cancela el denominador en el tercer paso.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5:

3x - 2 + 5x² - 2x = 5x²

3x + ~~5x²~~ - 2x - ~~5x²~~= 2

x = 2

Condición de existencia: x ≠ 0

Conjunto solución: {2}
Al igual que en el EJEMPLO 2, sería más práctico hacerlo de otra manera, que muestro en la EXPLICACIÓN. Pero preferí mostrar aquí todos los ejemplos resueltos con el mismo procedimiento para no confundir. En las EXPLICACIONES están todos los comentarios al respecto.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (No se cumple la Condición de existencia)

x² - 1 - x² - 2x = 3x - 1

-2x - 3x = -1 + 1

-5x = 0

x = 0:(-5)

x = 0

Condición de existencia: x ≠ 0

Conjunto solución: Ø (vacío) (no tiene solución)
Este es un ejemplo donde la ecuación no tiene solución. Porque la única solución posible sería x = 0. Pero ésta no verifica la ecuación, ya que hace que los denominadores den cero. Es decir: no cumple la Condición de existencia.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE ECUACIONES RACIONALES

¿Qué son las ecuaciones racionales?

Ecuaciones donde hay alguna x (o la incógnita) en algún denominador. Por ejemplo:

(¿y qué es una ecuación?)

Como en toda el ecuación, el objetivo es encontrar el o los valores de x que verifican la igualdad. Es decir, despejar la x (o la letra que tenga como incógnita) para llegar a un resultado que diga: "x = algo". "Que verifican la igualdad" significa que, si reemplazamos a todas las x del ejercicio con el número que nos dió como solución, y hacemos las operaciones entre los números, tenemos que llegar a una igualdad verdadera (3 = 3 por ejemplo).

¿Cómo se resuelven las ecuaciones racionales?

Hay varias formas de hacerlo, y a veces una u otra conviene más dependiendo de la forma del ejercicio:

1) Buscando el denominador común entre todos los denominadores de las fracciones que aparecen en ambos miembros de la ecuación (¿qué es un miembro?). Y luego de transformados los numeradores (como se hace en la suma de fracciones), los denominadores se pueden cancelar.

2) Pasando todos los términos de un lado, y que del otro quede 0 ("igualar a cero"). Luego se busca denominador común, se transforman los numeradores como en la suma de fracciones, y se puede cancelar el denominador común.

3) Buscar denominador común entre las fracciones de un miembro, y luego pasar ese denominador común multiplicando al otro miembro (ya que el denominador es algo que está dividiendo, en una ecuación se lo puede pasar multiplicando).

4) Si es una proporción (igualdad de dos fracciones), se puede usar la Propiedad fundamental de las proporciones ("El producto de los medios es igual al producto de los extremos", o "Igualar los productos cruzados"). Pero si no es una proporción, también se puede buscar denominador común en cada término para que lo sea, y luego aplicar la propiedad.

En la EXPLICACIÓN de los EJEMPLOS mostraré cómo se los puede resolver de otra forma, y explicaré más sobre ellas y su fundamento. Y también se verá para qué forma de ejercicio es recomendable cada procedimiento, aunque eso no quiere decir que haya que saberlos a todos. Simplemente es para quienes tengan interés en conocerlos.

¿Qué es la Condición de Existencia (C.E.)?

El denominador de una fracción no puede ser 0 (cero), porque el denominador de una fracción está dividiendo al numerador, y dividir por cero no se puede. Entonces, en una ecuación racional, la solución no puede ser un número que haga que un denominador dé cero. Por ejemplo, en la siguiente ecuación:

(x + 5) debe ser desigual a cero. Y (x + 2) debe ser desigual a cero. Porque son los denominadores de las fracciones. Hallemos que números cumplen eso:

x + 5 = 0
x = -5

x + 2= 0
x = -2

Eso quiere decir que la solución de esa ecuación no debe ser ni -5 ni -2. Porque esos números harían que un denominador sea igual a cero. Cuando se cancela el denominador y se resuelve la ecuación que quedó en el numerador, puede pasar que la solución sea un número distinto de ésos, por ejemplo x = 1. El 1 sería solución de la ecuación, porque cumple la Condición de Existencia: no es ni el -5, ni el -2. El 1 no va a hacer que ningún denominador dé cero. Probemos reemplazando la x por 1 (así se verifica la solución de una ecuación):

Pero a veces, la solución que nos dá la ecuación del numerador, puede ser un número que no cumpla la Condición de existencia, por ejemplo podría habernos dado -5 ó -2. En ese caso, esa solución que encontramos no sirve, no es una solución válida, porque hace que un denominador sea igual a cero, y hay que quitarla del Conjunto solución.
Si una ecuación tiene dos soluciones (en el numerador queda una ecuación cuadrática), puede ser que una de ellas no cumpla la Condición de existencia y la otra sí. O ninguna de las dos la cumpla. O la cumplan las dos. En el EJEMPLO 6 se puede ver que la solución encontrada no cumple con la condición de existencia.

¿Qué es el Conjunto Solución?

Hay ecuaciones que tienen una sola solución, otras que tienen dos, ninguna, etc. El conjunto formado por esas soluciones es el llamado Conjunto solución. Por ejemplo, si hallamos que las soluciones de una ecuación cuadrática (¿qué es una ecuación cuadrática?) son:

x₁ = 2
x₂ = 3

El Conjunto solución es: {2,3}. Las llaves son porque en la teoría de conjuntos (que ahora ya no se enseña mucho, pero nos hacen usar su lenguaje), se define a los conjuntos poniendo sus elementos entre llaves. {2,3} significa: "el conjunto formado por los elementos 2 y 3".

En este tema se hace incapié en esto del Conjunto solución, porque la Condición de existencia (¿y eso que es?) puede hacer que haya que quitar alguna de las soluciones que se obtienen en un principio. A veces, se obtienen supuestas soluciones que no verifican la ecuación, que no cumplen con la Condición de existencia. Entonces, para aclarar bien cuáles son las soluciones que sí son válidas, se pone como respuesta final el Conjunto solución. Por ejemplo:

1) La Condición de existencia de una ecuación racional es: C.E: x ≠ 3 y x ≠ -1.

2) Resolvemos la ecuación siguiendo el procedimiento, y nos dá que x = -2 ó x = 3.

3) Pero x = 3 no cumple la Condición de existencia, que decía que x ≠ 3. Eso significa que
x = 3 no verifica la ecuación, que si reemplazo en la ecuación la x por el número 3 tendré algún denominador igual a cero (eso porque es una ecuación racional, en otro tipo de ecuaciones puede ser por otra cosa). Entonces, x = 3 no es una solución válida. No es solución de la ecuación, y hay que quitarla del Conjunto solución.

4) Entonces, para aclarar que la única solución válida es x = -2, y que x = 3 no es solución, se responde que el Conjunto solución de la ecuación es {-2}. Es decir, que la solución es una sola.

Otros ejemplos:

C.E: x ≠ 4

Soluciones posibles: x = 9 ó x = 3

Conjunto solución: {9,3}

C.E: x ≠ 1 y x ≠ 0

Soluciones posibles: x = 0

Conjunto solución: {} ó Ø (Conjunto vacío, no tiene solución)

En el EJEMPLO 6 se puede ver una ecuación que no tiene solución, porque la posible solución no cumple la Condición de existencia.

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OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)

A = - 3x² + 2x⁴ - 8 - x³ + 1/2 x
B = -5x⁴ - 10 + 3x + 7x³

    2x⁴ - x³ - 3x² + 1/2 x - 8          (el polinomio A ordenado y completo)
+
   -5x⁴ + 7x³ + 0x² +   3x - 10          (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________
   -3x⁴ + 6x³ - 3x² + 7/2 x - 18

A + B = -3x⁴ + 6x³ - 3x² + 7/2 x - 18

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x². Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.
También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)

A = -3x² + 5x - 4             (grado 2)
B = 4x³ - 5x² + 2x + 1      (grado 3)

    0x³ - 3x² + 5x - 4          (el polinomio A ordenado y completo)
+
   4x³ - 5x² + 2x + 1         (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
   4x³ - 8x² + 7x - 3

A + B = 4x³ - 8x² + 7x - 3

En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero)

A = 9 + 5x³ - 4x² + x
B = 4x² - 3 - 2x

   5x³ - 4x² + x + 9
+
   0x³ + 4x² - 2x - 3
____________________
   5x³ + 0x² - x + 6

A + B = 5x³ - x + 6

La suma de los términos de grado 2 dió 0x². Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente cero.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes)

A = 4x³ + 5
B = -2x + x²

   4x³ + 0x² + 0x + 5
+
   0x³ + x² - 2x + 0
____________________
   4x³ + x² - 2x + 5

A + B =  4x³ + x² - 2x + 5

Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras)

A = -3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y - 5xy
B = 8xy - 2xy² + 10 + 4x³y

A + B = (-3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y - 5xy) + (8xy - 2xy² + 10 + 4x³y) =

-3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y - 5xy + 8xy - 2xy² + 10 + 4x³y =

-3xy² - 6x²y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy² + 4x³y - 7x²y² =

-9xy² + 14 + 3xy - 2xy² + 4x³y - 7x²y²

Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA

¿Qué es un polinomio?

Veamos algunos ejemplos de polinomios:

-5x⁴ - 10 + 3x + 7x³
-3x² + 5x - 4
x + 1
2a - 5a³ + a²
-3xy² + 4 - 7xy
1/3 x⁵ - 6

Se puede ver que son expresiones formadas por "sumas y/o restas de términos", donde muchos de ellos tienen una letra o más, y las letras puede tener exponentes positivos (un número natural).

¿Qué son los términos?

Veámoslo con un ejemplo. En el polinomio:

-5x⁴ - 10 + 3x + 7x³

Los términos son:

-5x⁴
-10
3x
7x³

Recordemos lo que nos decían en los ejercicios combinados con números: "los signos más y menos separan términos". Aunque no hay un signo de multiplicación entre el número y la letras, hay que asumir que están multiplicándose. Cuando entre una letra y un número no hay signo de operación, se sobreentiende que están multiplicandose. Lo mismo pasa cuando hay dos letras juntas. Por ejemplo: "2x" significa "2.x", es decir: "2 multiplicado por x", y "ab" significa "a.b", o sea: "a multiplicado por b".

Cada término es también un polinomio al que se le llama "monomio". Se podría decir que un polinomio es una suma de monomios.

¿Qué es el grado de un término?

Es el exponente al que está elevado la letra del término (en caso de haber una sola). Por ejemplo:

-5x⁴ es un término de grado 4. Porque la letra x está elevada al exponente 4.
7x² es un término de grado 2. Porque la letra x está elevada al exponente 2.
3x es un término de grado 1. Porque si bien la letra x no tiene exponente, x es igual a x¹. Quiere decir que, cuando una letra no tiene exponente, el grado es 1, porque en realidad esa letra está elevada a la potencia 1.
-10 es un término de grado cero. Porque a ese término se le puede agregar la letra del polinomio (indeterminada), elevada a la potencia cero:

-10 es igual a -10x⁰

Ya que x⁰ es igual a 1. Y -10.1 es igual a -10. Entonces, como -10x⁰ es igual a -10.1 que es igual a -10, puedo decir al revés: -10 es igual a -10x⁰ (si dos cosas son iguales, son iguales cualquiera sea el orden en que lo diga ¿no?). Así que, como el exponente de la letra es cero, el grado de ese término es cero. A esos términos que son un número sin letra, se les llama: "término independiente". (más sobre el término independiente)

Y cuando el término tiene varias letras, el grado del término es igual a la suma de los exponentes dichas letras. Por ejemplo:

2x⁴y³ es un término de grado 7 (4 + 3)
-5ab² es un término de grado 3 (1 + 2)

¿Qué son los coeficientes?
Son los números que en cada término están delante de las letras (multiplicando, en realidad), o el número que está solo (término sin letra). Por ejemplo:

En el término -5x⁴, el coeficiente es -5.
En el término 7x³, el coeficiente es 7.
En el término x⁵, el coeficiente es 1. Porque, si bien x⁵ no tiene ningún número delante de la letra, x⁵ es igual a 1x⁵. Quiere decir que cuando "no hay coeficiente", es que en realidad el coeficiente es 1.
En el término -10, el coeficiente es -10. Este término no tiene letra, pero el número es un coeficiente al que se llama "coeficiente constante" (¿qué es una constante?). En el punto anterior también vimos que se le llama "término independiente".

¿Cuál es el grado de un polinomio?

El grado de todo el polinomio es el grado del término de mayor grado. O de otra manera: si en un polinomio de una sola letra, el grado es el mayor exponente con que vemos a la letra en el polinomio. Por ejemplo:

2a - 5a³ + a²  es un polinomio de grado 3
-5x⁴ - 10 + 3x + 7x³ es un polinomio de grado 4
x + 6 es un polinomio de grado 1 (porque x es igual a x¹)
2 - x² + 5x⁷ es un polinomio de grado 7

Si el polinomio tiene varias letras, el grado es la suma más alta que den los exponentes de alguno de los términos. O sino: es igual al grado del término de mayor grado. Por ejemplo, en:

2x³y² - 5xy³ + 8xy

El grado del polinomio es 5. Porque el término de mayor grado es 2x³y², cuyo grado es 5 ya que hay que sumar los exponentes de la letras para saber el grado cuando hay varias letras: 3 + 2 = 5. Los otros dos términos tienen grado menor que 5: El término - 5xy³ es de grado 4 (1 + 3), y el término 8xy es de grado 2 (1 + 1).

¿Cómo se suman los polinomios? (otra explicación más directa)

Si el polinomio tiene una sola letra (que es lo más común), se puede decir, de una manera resumida, que "se suman entre sí los términos de igual grado". Es decir: "las x se suman con las x, las x² con las x², las x³ con las x³, los números solos con los números solos, etc." Y lo que se suma son los números de adelante (coeficientes). Y el resultado de la suma de cada par de términos sigue siendo del mismo grado, es decir, lleva la letra con el mismo exponente que tenían los términos. Podemos decir que el coeficiente del resultado es igual a la suma de los coeficientes de cada término, y la letra queda con el mismo exponente (justificación de por qué se suma así). Por ejemplo:

3x² y 7x² son dos términos de igual grado. Su suma dá:

3x² + 7x² = 10x²        (justificación de por qué se suma así)

Ya que (3 + 7) = 10. Sumé los coeficientes, y la letra quedó con el mismo grado.

2x³ y -5x³ son dos términos de igual grado. Sumo sus coeficientes:

2 + (-5) = 2 - 5 = -3.

Entonces, su suma dá:

2x³ + (-5x³)= -3x³

Luego, para sumar dos polinomios, se suman los términos de uno y del otro que sean "semejantes" (de igual grado cuando tiene una sola letra). Por ejemplo:

A = 2x⁴ - x³ + 1/2 x - 3x² - 8
B = -5x⁴ - 10 + 3x + 7x³

Para sumar esos dos polinomios, hay que sumar a:

2x⁴ con -5x⁴
-x³ con 7x³
1/2 x con 3x
-8 con -10
y -3x² no se puede sumar con ningún término de B, porque B no tiene término de grado 2.

Como dijimos, se suman los coeficientes, entonces esas suman dan:

2x⁴ + (-5x⁴) = 2x⁴ - 5x⁴ =-3x⁴      (suma de los coeficientes: 2 + (- 5) = 2 - 5 = -3)
-x³ + (+7x³)= -1x³ + 7x³ = 6x⁴      (suma de los coeficientes: -1 + (+7) = -1 + 7 = 6)
1/2 x + (+3x) = 1/2 x + 3x = 7/2 x  (suma de los coeficientes: 1/2 + (+3) = 1/2 + 3 = 7/2)
-8 - 10 = -18
-3x² + 0x² = -3x²                        (suma de los coeficientes: -3 + 0 = -3)

Entonces, el resultado de la suma es el polinomio formado por todos esos términos:

A + B = -3x⁴ + 6x³ + 7/2 x - 18 - 3x²(los términos que dieron positivos se ponen sumando, y los que dieron negativos se ponen restando)

Pero para hacer esto de manera ordenada, se suelen ordenar (de mayor a menor grado) y completar a los polinomios, y ponerlos uno sobre otro de manera que en las columnas estén los términos de igual grado, como se hacía en la suma de números naturales de varias cifras. El procedimiento es el siguiente:

1) Ordenar y completar los polinomios (más explicación sobre esto):

A = 2x⁴ - x³ + 1/2 x - 3x² - 8      (desordenado)
A = 2x⁴ - x³ - 3x²+ 1/2 x - 8      (ordenado)

B = -5x⁴ - 10 + 3x + 7x³              (desordenado e incompleto)
B = -5x⁴ + 7x³ + 0x² + 3x - 10      (ordenado y completo)

2) Ponerlos (ya ordenado y completo cada uno) sumando uno sobre otro, cuidando que en cada columna queden dos términos de igual grado:

     2x⁴ - x³ - 3x²+ 1/2 x - 8
+
   -5x⁴ + 7x³ + 0x² +    3x - 10
_____________________________
   -3x⁴ + 6x³ - 3x² + 7/2 x - 18

Así, lo que hay que sumar son los coeficientes de cada columna, y debajo de la línea se pone el resultado de cada suma, con la letra elevada al exponente que corresponde a dicha columna.

Primera columna: 2 + (-5) = 2 - 5 = -3. Como es la columna de las x⁴, el resultado es: -3x⁴.
Segunda columna: -1 + 7 = 6. Como es la columna de las x³, el resultado es: 6x³.
etc.

Pero en realidad ésa es sólo una forma de acomodar los términos, y no es imprescindible hacerlo, aunque si lo enseñan así esperan que así lo hagamos al principio. Porque también hay otra forma de disponer los polinomios, a la que podríamos llamar "sumarlos en línea", o "en el mismo renglón". La suma de los dos polinomios se puede expresar así:

(2x⁴ - x³ - 3x²+ 1/2 x - 8) + (-5x⁴ - 10 + 3x + 7x³) =

Luego quito los paréntesis. Los signos de los términos no cambian, porque ningún paréntesis está precedido de un signo menos, y el signo de la suma desaparece (regla paréntesis):

2x⁴ - x³ - 3x²+ 1/2 x - 8 - 5x⁴ - 10 + 3x + 7x³ =

Como se vió antes, hay que sumar los términos de igual grado. El paso que voy hacer ahora no es imprescindible, pero sirve para poder ver juntos a los pares de términos que voy a sumar (lo que algunos dicen "juntar"). Les voy a cambiar el orden para que queden juntos:

2x⁴ - 5x⁴- x³ + 7x³+ 1/2 x + 3x - 8 - 10 - 3x²=

(Cuando cambio el orden de los términos estoy amparándome en la Propiedad conmutativa de la suma (a + b = b + a) (¿pero todos los términos están sumando?). Y cada término "se traslada" con el signo que tiene delante. Para no equivocarse hay que pensar que "el signo del término es el signo que tiene delante", y no ver los signos como sumas o restas)

Ahora voy a "juntar" a cada par, haciendo la operación correspondiente:

2 - 5 = -3        Entonces quedan -3x⁴
-1 + 7 = +6        Entonces quedan 6x³
1/2 + 3 = +7/2   Entonces quedan 7/2 x
-8 - 10 = -18    Entonces el término independiente es -18

Y como solamente hay un término con x², no se puede juntar con otro, así que quedan -3x².

Y entonces el resultado es:

-3x⁴ + 6x³ + 7/2 x - 18 - 3x²

Los pasos del ejercicio son, entonces:

(2x⁴ - x³ - 3x²+ 1/2 x - 8) + (-5x⁴ - 10 + 3x + 7x³) =
2x⁴ - x³ - 3x²+ 1/2 x - 8 - 5x⁴ - 10 + 3x + 7x³ =
2x⁴ - 5x⁴- x³ + 7x³+ 1/2 x + 3x - 8 - 10 - 3x² =   (paso hecho para ordenar, no es obligatorio)
-3x⁴ + 6x³ + 7/2 x - 18 - 3x²

Ahora, cuando los polinomios que sumo tienen varias letras, por ejemplo:

A = -3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y
B = 8xy - 2xy² + 10

ya no puedo decir que sumo los términos de igual grado. Porque dos términos pueden tener igual grado pero diferente parte literal. Por ejemplo: -2xy² y -6x²y son ambos de grado 3. Sin embargo la parte literal es diferente, porque el primero tiene la x y la y², y el otro al revés. Entonces esos dos términos no deben sumarse. Incluso en el mismo polinomio puede haber dos términos de igual grado (como -3xy² y -6x²y en el polinomio A). Entonces, no podemos decir que para sumar dos polinomios de varias letras hay que sumar los coeficientes de los términos del mismo grado, sino que, para sumar dos polinomios de varias letras hay que sumar los coeficientes de los términos que tienen igual "parte literal" (¿parte literal?), es decir los que tienen la o las mismas letras con los mismos exponentes. Recordemos que a los términos con igual parte literal se los llama "semejantes". Es decir que hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos semejantes, y el resultado es un término con la misma parte literal. Incluso, cuando se suman polinomios con varias letras no se suelen poner uno sobre otro, ni ordenarlos por grado, etc., porque eso ya no es práctico y muchas veces son pocos los términos que coinciden en su parte literal. Entonces es mejor sumarlos "en línea", así:

-3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y + (8xy - 2xy² + 10) =
-3xy² + 4 - 7x²y² - 6x²y + 8xy - 2xy² + 10 =
-3xy² - 2xy² + 4 + 10 - 7x²y²- 6x²y =      (paso para que se vean juntos los términos semejantes)
-5xy² + 14 - 7x²y² - 6x²y

Los únicos términos que eran semejantes entre sí son:

-3xy² - 2xy² (su parte literal es igual: xy²) (suma de los coeficientes: -3 + (-2) = -3 - 2 = 5)
4 + 10 = 14 (no tienen parte literal, son términos independientes)

Los términos que no se sumaron con otros, quedaron iguales.

¿A qué se le llama términos "semejantes"?
Empecemos viendo ejemplos de términos semejantes:
5ab² y 16ab²

2abc y -4abc

3z²x⁴ y 8z²x⁴

x⁵ y 7x⁵

3 y 4

Mirando esos ejemplos habrán notado que si un término es semejante a otro, tiene exactamente las misma letras y cada una con el mismo exponente que el otro. Las letras de un término forman lo que se llama "parte literal" del término (literal: de "letra"). Entonces, se les llama "semejantes" a los términos que tienen la misma parte literal.
Si los términos tienen una sola letra (como 7x² y -5x²), el exponente de la letra será el grado del término (¿qué es el grado?). En esos casos, los términos de igual grado son semejantes.

¿Cómo se ordena y se completa un polinomio?

Se ordena sus términos por el grado (exponente de la letra, cuando tiene una sola). Y se completan con ceros los grados intermedios que puedan faltar. Por ejemplo:

P = -2x + 5x⁴ + 6 - 3x⁵                 (incompleto y desordenado)

El polinomio P está incompleto, porque le faltan los términos de grado 2 y 3, ya que se puede ver que ninguno de sus términos tiene la x² ni la x³. Y está desordenado, porque empieza con el término de grado 1, sigue con el de grado 4, luego grado 0 y luego grado 5, lo cual no es el orden de los números naturales (orden ascendente: 0, 1, 2, 3, 4, 5... ; orden descendente: ... 5, 4, 3, 2, 1, 0). Voy a ordenarlo y completarlo a la vez:

P = -3x⁵ + 5x⁴ + 0x³ + 0x² - 2x + 6      (completo y ordenado)

Lo ordené de grado mayor a grado menor. Así se hace con mayor frecuencia, porque es como sirve tenerlos para las operaciones, sobre todo para la división y la regla de Ruffini. Y completé los dos grados que faltaban con 0x³ y 0x². Porque como 0x³ es igual a 0 (multiplicación de cero por x³, y cero por cualquier cosa dá cero), lo mismo que 0x², no cambia al polinomio al agregarlos sumando. Porque sumar cero no cambia nada, ya que el cero es neutro en la suma: sumarlo no cambia el resultado.
Otro ejemplo:

Q = 2x - x² + 2x⁶       (incompleto y desordenado)

Q = 2x⁶ + 0x⁵ + 0x⁴ + 0x³ - x² + 2x + 0      (completo y ordenado)

No hay que olvidarse del término independiente, el "número solo", que si el polinomio no lo tiene, hay que agregar el 0 como término independiente, para que el polinomio esté completo en todos sus grados.

¿Por qué puedo decir que todos los términos están sumando, si hay términos que son negativos?
Cuando más arriba estaba explicando qué hacer con esto:

2x⁴ - x³ - 3x²+ 1/2 x - 8 - 5x⁴ - 10 + 3x + 7x³ =

Dije que se podía cambiar el orden de los términos, por la Propiedad conmutativa de la suma. Pero puede que alguien se haga la siguiente pregunta ¿por qué es eso una suma, si también hay restas? Pero ya trabajando con los conjuntos de los números Enteros, Racionales, y Reales, se sabrá que resta y suma al fin de cuentas son lo mismo: restar es igual a sumar el opuesto. Por ejemplo 2 - 5 es igual a 2 + (-5). Entonces, la expresión que escribí antes la puedo escribir así:

2x⁴ + (-x³) + (-3x²) + (+1/2 x) + (-8) + (-5x⁴) + (-10) + (+3x) + (+7x³) =

Así se ve más claramente que es una suma. Y entonces puedo cambiar el orden de los términos que estoy sumando, por la Propiedad conmutativa de la suma:

2x⁴ + ( - 5x⁴) + (-x³) + (+ 7x³) + (- 8) + (- 10) + (+1/2 x) + (+3x) + (-3x²) =

Luego, si se quita cada paréntesis, llegamos a lo mismo que mostré antes:

2x⁴ - 5x⁴- x³ + 7x³+ 1/2 x + 3x - 8 - 10 - 3x² =

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OPERACIONES CON POLINOMIOS: RESTA / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)

A = - 3x² + 9x⁴ - 8 - 4x³ + 1/2 x
B = 5x⁴ - 10 + 3x + 7x³

    9x⁴ - 4x³ - 3x² + 1/2 x - 8          (el polinomio A ordenado y completo)
-
    5x⁴ + 7x³ + 0x² +   3x - 10          (el polinomio B ordenado y completo)
______________________________

La resta se puede tranformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:

    9x⁴ - 4x³ - 3x² + 1/2 x   - 8
+
   -5x⁴ - 7x³ + 0x²   -   3x  + 10       (el polinomio B con los signos cambiados)
______________________________
    4x⁴ - 11x³ - 3x² - 5/2 x + 2

A - B = 4x⁴ - 11x³ - 3x² - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.
Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)

A = 5x - 4 - 3x²                  (grado 2)
B = 2x + 4x³ - + 1 + 5x²       (grado 3)

    0x³ - 3x² + 5x - 4          (el polinomio A ordenado y completo)
-
   4x³ - 5x² + 2x + 1         (el polinomio B ordenado y completo)
____________________

     0x³ - 3x² + 5x - 4
+
   -4x³ + 5x² - 2x - 1         (el polinomio B con los signos cambiados)
____________________
   -4x³ + 2x² + 3x - 5

A - B = -4x³ + 2x² + 3x - 5

Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: RESTA

¿Cómo se restan los polinomios?

1) Transformando la resta en suma:

Una manera muy común de hacerlo es transformando la resta en suma, y cambiándole los signos a todos los términos del segundo polinomio (el que se está restando, el "sustraendo"). Porque restar es equivalente a sumar "el opuesto". El opuesto de un número era un número del mismo valor, pero con el signo contrario. Por ejemplo: -5 es el opuesto de 5, 3 es el opuesto de -3, etc. Y el opuesto de un polinomio es un polinomio que tenga "los mismos términos pero con el signo contrario". Por ejemplo, el opuesto de 3x² + 7x sería -3x² - 7x.

Veamos en un ejemplo numérico cómo es eso de "restar = sumar el opuesto":

10 - 3 = 7

10 + (-3) = 7

Se puede ver que, al "sumar el opuesto", se está "cambiando la resta por suma, y cambiando el signo al segundo número". Eso mismo se hace con los polinomios. Por ejemplo:

A = 5x² - 2x + 4
B = 8x² + 3x - 1

Para restar A - B, se puede transformar en la suma del opuesto: A + (-B).

El que se resta es B: 8x² + 3x - 1

Y el opuesto de B es: -8x² - 3x + 1

Así que, en lugar de, a A restarle B, lo que hago es: a A le sumo el opuesto de B:

     5x² - 2x + 4           (polinomio A)
+
    -8x² - 3x + 1           (el opuesto al polinomio B)
________________
    -3x² - 5x + 5

Como a sumar ya se aprendió antes, no hay nada nuevo que aprender, solamente hay que acordarse de cambiarle los signos al segundo polinomio. Luego, es una suma de polinomios.

2) Restando los coeficientes de los términos de igual grado (o "semejantes"):

En vez de transformar la resta en suma, se pueden restar entre sí los coeficientes de los términos semejantes, tal como en la suma se sumaban:

    5x² - 2x + 4           (polinomio A)
-
    8x² + 3x - 1           (polinomio B)
________________
   -3x² - 5x + 5

Las cuentas entre los coeficientes fueron así:

Columna de las x² ---- >   5 - (+8) = 5 - 8 = -3

Columna de las x: ---- >   -2 - (+3) = -2 - 3 = -5

Columna de los "números solos": ---- > 4 - (-1) = 4 + 1 = 5

3) "Resta en el mismo renglón":

Y otra forma de restar polinomios es ponerlos restando uno al lado del otro, tal como se hace también en la suma. Por ejemplo:

A = 5x² - 2x + 4
B = -4x³ + 9x² - 3

A - B =

(5x² - 2x + 4) - (-4x³ + 9x² - 3) =

Los paréntesis sirven para destacar a cada polinomio, pero el segundo paréntesis es obligatorio ponerlo, pues así se indica que el signo "menos" de la resta está afectando a todos los términos del segundo polinomio. Si no se pusiera el paréntesis, el "menos" afectaría solamente al primer término y no a todo el polinomio. Y hay que restar todo el polinomio. Luego, se pueden quitar los paréntesis, y entonces desaparece el signo de la resta, y cada término del segundo polinomio queda con el signo contrario (regla para quitar paréntesis):

5x² - 2x + 4 + 4x³ - 9x² + 3 =

Luego se "juntan" los términos de igual grado (lo cual ya expliqué en la suma de polinomios), y queda:

-4x² + 7 - 2x - 9x²

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OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)

A = -3x² + 2x⁴ - 8 - x³ + 5x
B = -5x⁴

    -3x² + 2x⁴ - 8 - x³   + 5x

    X                                  -5x⁴
______________________________
   15x⁶ - 10x⁸ + 40x⁴ + 5 x⁷ - 25x⁵

A x B = 15x⁶ - 10x⁸ + 40x⁴ + 5 x⁷ - 25x⁵

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)

A = 4x³ - 5x² + 2x + 1
B = 3x - 6

                4x³ - 5x² + 2x + 1            (el polinomio A ordenado y completo)

              X                  3x  - 6            (el polinomio B ordenado y completo)
           ____________________
            -24x³ + 30x² - 12x - 6
+
    12x⁴ - 15x³ + 6x² + 3x
    _________________________
    12x⁴ - 39x³ + 36x² - 9x - 6

A x B = 12x⁴ - 39x³ + 36x² - 9x - 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y es más fácil encolumnarlos según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos)

A = -9x² + x + 5x⁴
B = 3 - 2x²

                         5x⁴ + 0x³ - 9x² + x + 0   (polinomio A completo y ordenado)

            X                        -2x² + 0x + 3   (polinomio B completo y ordenado)
           ______________________________
                     15x⁴ + 0x³ - 27x² + 3x + 0

             0x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x

-10x⁶ + 0x⁵ + 18x⁴ - 2x³ + 0x²
________________________________________
-10x⁶ + 0x⁵ + 33x⁴ - 2x³ - 27x² + 3x + 0

A x B =  -10x⁶ + 33x⁴ - 2x³ - 27x² + 3x

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios.
En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí ordenándolos)

A = -9x² + x + 5x⁴
B = 3 - 2x²

                         5x⁴ - 9x² + x       (polinomio A incompleto pero ordenado)

             X                -2x² + 3        (polinomio B incompleto pero ordenado)
            _____________________
              15x⁴        - 27x² + 3x

   -10x⁶ + 18x⁴ - 2x³
____________________________
   -10x⁶ + 33x⁴ - 2x³ - 27x² + 3x

A x B =  -10x⁶ + 33x⁴ - 2x³ - 27x² + 3x

En el resultado de multiplicar por el 3 no hay término con grado 3. Y en el resultado de multiplicar por -2x², no hay término de grado 2. Eso obliga a que, para que queden encolumnados los términos de igual grado, haya que saltearse columnas, borrar para hacer espacios, etc. No es demasiado complicado, pero hay quienes prefieren no tener que ponerse a pensar en dónde ubicar cada término. En ese caso es preferible hacerlo como en el EJEMPLO 3: completar y ordenar a los dos polinomios para que todos los términos vayan saliendo en orden y no haya qué pensar en dónde ponerlos.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras)

A = -3x²y³ + 4 - 7x²y² - 6x³y³
B = 5x⁴y + 8x - 2x³y - 10

A x B = (-3x²y³ + 4 - 7x²y² - 6x³y³).(5x⁴y + 8x - 2x³y - 10) =

-15x⁶y⁴ - 24x³y³ + 6x⁵y⁴ + 30x²y³ + 20x⁴y + 32x - 8x³y - 40 - 35x⁶y³
- 56x³y² + 14x⁵y³ + 70x²y² - 30x⁷y⁴ - 48x⁴y³ + 12x⁶y⁴ + 60x³y³ =

-15x⁶y⁴ + 12x⁶y⁴ - 24x³y³ + 60x³y³+ 6x⁵y⁴ + 30x²y³ + 20x⁴y + 32x
- 8x³y - 40 - 35x⁶y³ - 56x³y² + 14x⁵y³ + 70x²y² - 30x⁷y⁴ - 48x⁴y³
+ 12x⁶y⁴ =

-3x⁶y⁴ + 36x³y³+ 6x⁵y⁴ + 30x²y³ + 20x⁴y + 32x - 8x³y - 40 - 35x⁶y³ - 56x³y² + 28x⁵y³ + 70x²y² - 30x⁷y⁴ - 48x⁴y³ + 12x⁶y⁴

Cuando los polinomios tienen varias letras, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos, completarlos y ponerlos uno sobre otro. Mejor es multiplicarlos "en el mismo renglón" aplicando la Propiedad distributiva. En la multiplicación de los términos, hay que sumar los exponentes de las letras que son iguales, por la Propiedad de las potencias de igual base. Luego, se "juntan" los términos semejantes (iguales letras con iguales exponentes). En este ejemplo solamente hubo dos términos semejantes: -24x³y³ con 60x³y³. Los demás quedan como están.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo)

A = -9x² + x + 5x⁴
B = 3 - 2x²

                         5x⁴ + 0x³ - 9x² + x + 0  (polinomio A completo y ordenado)

            X                               -2x² + 3  (polinomio B completo y ordenado)
           ______________________________
                     15x⁴ + 0x³ - 27x² + 3x + 0

-10x⁶ + 0x⁵ + 18x⁴ - 2x³ + 0x²
________________________________________
-10x⁶ + 0x⁵ + 33x⁴ - 2x³ - 27x² + 3x + 0

A x B =  -10x⁶ + 33x⁴ - 2x³ - 27x² + 3x

Fue necesario saltearse dos columnas en vez de una, para ubicar el 0x² debajo del -27x², y es porque al segundo polinomio le falta el término de grado x. Todo lo demás salió ordenado por grado.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar)

A = -9x² + x + 5x⁴
B = 3 - 2x²

                             9x² + x + 5x⁴     (polinomio A incompleto y desordenado)

             X                    3 - 2x²       (polinomio B incompleto y desordenado)
            __________________________
              - 10x⁶       + 18x⁴ - 2x³

                              + 15x⁴         - 27x² + 3x
_________________________________________
             - 10x⁶        + 33x⁴- 2x³ - 27x² + 3x

A x B =  - 10x⁶ + 33x⁴- 2x³ - 27x² + 3x

Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es -10x⁶, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los resultados debajo en la columna correspondiente.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: MULTIPLICACIÓN

¿Cómo se multiplican los polinomios?

Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:

(x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1

Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una expresión con cada término de la otra:

(x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x² - 3x + 5x - 15 =

Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x² con las x²...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x² no hay, queda x². Eso de juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios)

= x² + 2x - 15

Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos términos. Por ejemplo:

A = -9x³ + x + 4x⁵
B = 3x² + 2x⁴ - 8 - x³ + 5x

(-9x³ - x + 4x⁵).(3x² + 2x⁴ - 8 - x³ + 5x) =

Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro. Eso es aplicar la propiedad distributiva. Las multiplicaciones que hay que hacer son:

(-9x³).(+3x²) = -27x⁵ (¿cómo se hacen estas multiplicaciones?) (¿por qué +3, si no tenía el +?)

(-9x³).(+2x⁴) = -18x⁷

(-9x³).(-8) = +72x³

(-9x³).(-x³) = +9x⁶

(-9x³).(+5x) = -45x⁴

(-x).(+3x²) = -3x³

(-x).(+2x⁴) = -2x⁵

(-x).(-8) = +8x

(-x).(-x³) = +x⁴

(-x).(+5x) = -5x²

(+3x⁵).(+3x²) = +9x⁷

(+3x⁵).(+2x⁴) = +6x⁹

(+3x⁵).(-8) = -24x⁵

(+3x⁵).(-x³) = -3x⁸

(+3x⁵).(+5x) = +15x⁶

(¿cómo se hacen esas multiplicaciones, paso por paso?)

Luego, el resultado de la multiplicación lo forman todos esos términos:

-27x⁵ - 18x⁶ + 72x³ + 9x⁶ - 45x⁴ - 3x³ - 2x⁵ + 8x + x⁴ - 5x² + 9x⁷ + 6x⁹ - 24x⁵ - 3x⁸ + 15x⁶ =

Pero quedaron términos del mismo grado, o "semejantes", entonces se los puede "juntar" (es decir, "sumar" sus coeficientes), para que quede un solo término de cada grado. Eso ya se vió en la suma de polinomios (ver). Primero voy a hacer un paso donde cambio el orden de los términos para que se vean juntos los que se pueden "juntar":

-27x⁵ - 24x⁵- 2x⁵- 18x⁶ + 9x⁶ + 15x⁶+ 72x³ - 3x³- 45x⁴ + x⁴ + 8x - 5x² + 9x⁷ + 6x⁹ - 3x⁸ =

Finalmente reduzco a un solo término de cada grado, sumando sus coeficientes, como ya se vió en la suma de polinomios:

-53x⁵ + 6x⁶ + 69x³ - 44x⁴ + 8x - x² + 9x⁷ + 6x⁹ - 3x⁸
porque:

-27 - 24 - 2 = -53

-18 + 9 + 15 = 6

72 - 3 = 69

-45 + 1 = -44

Multiplicación en columnas

Pero cuando empezamos a estudiar el tema "Operaciones con polinomios", nos enseñan a multiplicar poniendo un polinomio sobre otro (igual que la suma y la resta). Y parece que estamos haciendo algo distinto, pero es lo mismo: estamos aplicando la Propiedad distributiva. Solamente que tenemos que aprender a ordenar los resultados en columnas, pues así quieren que hagamos las multiplicaciones en un principio (más adelante es nuestra opción hacerlas como queramos). Entonces veamos un poco cómo es ese procedimiento:

1) Poner un polinomio sobre otro (opcional ordenarlos y/o completarlos)
2) Multiplicar cada término del polinomio de abajo por todos los términos del polinomio de arriba. Es como en la multiplicación de números naturales de muchas cifras: Cada término se multiplica por todo, y se van poniendo los resultados en filas. Luego, se suman todas las filas.
3) Sumar las filas (es una suma de polinomios).

Pero para sumarlos con comodidad, hay que poner a los términos de igual grado en la misma columna. Como los polinomios muchas veces vienen incompletos y/o desordenados, los resultados no van saliendo en orden de grado, así que hay que ir acomodándolos a medida que salen. Si esto resulta inconveniente, es mejor completar y ordenar ambos polinomios, y así los resultados salen en orden y no hay que pensar en qué columna ponerlos o dejar lugar para los grados que una fila tendrá y otra no. En caso de recurrir a este método, el primer paso sería ordenar y completar los polinomios (¿cómo se hace?). Ahora muestro un ejemplo de lo que pasa si no se ordenan y/o completan:

            3x - 2x³
      X    5x² + 1
      ___________
            3x - 2x³
15x³ - 10x⁵
_______________

Pero las x³ hay que sumarlas entre sí, y quedaron en distintas columnas. Por otro lado las x no se suman con las x⁵, y quedaron en la misma columna. Entonces, voy a tener que borrar y acomodarlos para que quede así:

            3x - 2x³
      X    5x² + 4
      ___________
         12x   - 8x³
- 10x⁵+ 15x³
________________

Para no tener esa molestia, o para no confundirse, muchos prefieren ordenar y hasta completar ambos polinomios. Así, los resultados van saliendo en el orden que corresponde:

                    -2x³ + 0x² + 3x + 0
           x                 5x² + 0x + 4
______________________________
                   -8x³ + 0x² + 12x + 0
            0x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x
-10x⁵ + 0x⁴ + 15x³ + 0x²
______________________________

En las explicaciones del EJEMPLO 2 y el EJEMPLO 3 se puede ver paso por paso cómo van saliendo en orden los términos. En el EJEMPLO 4 y EJEMPLO 6 se muestra también cómo sería si se ordenan pero no se completan los polinomios, o si se completa solamente "el de arriba". Algunos prefieren no completar el segundo polinomio, pues no necesitan hacer esa multiplicación por 0, sino que se dan cuenta de que simplemente se tienen que saltear una columna para empezar la siguiente fila. Cada uno elije la manera que mejor le queda, o incluso se puede empezar haciendo todo completo, hasta que luego con la práctica se adquiere la pericia para acomodar los resultados sin necesidad de completar, ni incluso de ordenar a los polinomios. Eso se muestra en el EJEMPLO 7.

Luego hay que sumar las filas, cada una de las cuales es un polinomio. Así que es una suma de polinomios, algo que ya se aprendió antes de ver multiplicación: Hay que sumar los términos de igual grado, o "semejantes".

Ejemplo ordenado y completo:

                      2x³ + 0x² + 3x + 0
           x                 5x² + 0x + 4
______________________________
                   -8x³ + 0x² + 12x + 0
            0x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x
-10x⁵ + 0x⁴ + 15x³ + 0x²
______________________________
-10x⁵ + 0x⁴ + 7x³ + 0x² + 12x + 0

Pero los términos con cero se pueden quitar, así que el resultado es: 10x⁵ + 7x³ + 12x

El mismo ejemplo, sin ordenar ni completar:

                3x - 2x³
        X      5x² + 4
      _____________
            12x   - 8x³
- 10x⁵+ 15x³
________________
-10x⁵ + 12x + 7x³

¿Cómo se hacen las multiplicaciones entre los términos?
Son multiplicaciones entre "monomios" ("polinomio de un solo término"). Cuando tienen que multiplicar dos monomios, pueden pensar así: "El número se multiplica por el número
(¿con o sin signo?); las letras iguales se multiplican entre sí sumando sus exponentes, por laPropiedad de las potencias de igual base; y los signos se multiplican entre sí por la regla de los signos".

El signo de un término en un polinomio es el signo que lleva adelante. Por ejemplo, en el polinomio:

3x² + 2x⁴ - x³

El signo del segundo término es +, porque 2x⁴ está sumando.
El signo del tercer término es -, porque la x³ está restando.
El signo del primer término es +, porque 3x² no tiene ningún signo delante, entonces hay que asumir que tiene un signo +, pues el + del primer término no se pone, el cambio el - sí.

(justificación de por qué se multlica "número con número y letra con letra igual")

Ejemplos de multiplicaciones entre monomios:

(-9x³).(+3x²) = -27x⁵

Porque:

"menos por más, dá menos (-)"
9.3 = 27
x³.x² = x³⁺² = x⁵

De esas tres cosas sale el resultado: -27x⁵

O, si prefieren multiplicar a los números con su signo, sería así:

-9.(+3) = -27
x³.x² = x³⁺² = x⁵

Otro ejemplo:

(-9x³).(+2x⁴) = -18x⁷

"menos por más, dá menos (-)"
9.2 = 18
x³.x⁴ = x³⁺⁴ = x⁷

Casos particulares:

1) Término sin letra:

(-9x³).(-8) = +72x³

"Como a x³ no se la multiplica por otra x, queda x³".

"menos por menos, dá más (+)"
9.8 = 72
x³ queda igual. Se podría pensar que -8 es un término de grado cero, entonces la x está elevada a la potencia cero, ya que -8 es igual a -8x⁰ (más sobre esto). Y bueno, si se multiplica a x³, por x⁰, pasa esto: x³.x⁰ = x³⁺⁰ = x³. Es decir, es lo mismo que no multiplicarla por nada, pues x⁰ es igual a 1, como cualquier cosa que se eleva a la potencia cero.

2) Término sin número:

(-9x³).(-x³) = +9x⁶

"Como el número no se multiplica por nada, queda el mismo número".

"menos por menos, dá más (+)"
El 9 queda igual. Se podría pensar que "hay un 1" delante de la x³, ya que x³ es igual a 1.x³, porque el 1 es neutro de la multiplicación. Y bueno, si se multiplica 9.1 = 9, como cualquier cosa que se multiplica por 1: dá la misma cosa.
x³.x³ = x³⁺³ = x⁶

3) Letra sin exponente:

(-2x).(+3x⁴) = -6x⁵

Aunque la x del primer término no tenga exponente, hay que recordar que está elevada a la potencia 1, ya que x¹ es igual a x. Así que el exponente que se suma es 1.

"menos por más, dá menos (-)"
2.3 = 6
x.x⁴ = x¹⁺⁴ = x⁵

4) Término sin signo:

(3x⁵).(-8x²) = -24x⁷

Si el término no tiene signo es porque era el primero del polinomio y hay que asumir que tiene un signo más. 3x⁵ es lo mismo que +3x⁵, ya que cuando el primer término es positivo, el signo + no se pone, en cambio cuando es negativo, el signo - sí se pone.

"más por menos, dá menos (-)"
3.8 = 24
x⁵.x² = x⁵⁺² = x⁷

Tomando al número con el signo:

En vez de pensar en multiplicar 3 cosas: signo - número - letra (lo cual expliqué así porque algunos lo prefieren, ya que visualizan al signo del término como un signo de operación y no del número), se puede pensar pensar en multiplicar 2 cosas: el número con su signo (el signo que tiene delante) y la letra. Entonces sería así:
(-9x³).(+3x²) = -27x⁵

Los números con su signo son -9 y +3, así que hay que multiplicar:

-9.(+3) = -27

Luego las letras, igual que antes:

x³.x² = x³⁺² = x⁵

¿Por qué pongo "sumar" entre comillas?

Cuando digo que se "suman" los coeficientes, hablo de suma de números positivos o negativos, lo cual algunos pueden interpretar como una resta. Por ejemplo:

5x - 3x

Alguien puede pensar que ahí hay que restar, no sumar. Pero en realidad eso es una suma de los números enteros 5 y -3:

5 + (-3) =

Pero en esa "suma", para hallar el "valor" del resultado hay que restar los "valores absolutos" (sin los signos, como números naturales) de los números:

5 - 3 = 2.

Aclaro esto para que no se tome como regla que, para sumar términos del mismo grado, hay siempre que "sumar" los "valores" de los números. Lo que hay que sumar son los números con su signo, por lo que al ser alguno de ellos negativo puede que en realidad haya que "restar" los valores absolutos de los números.
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OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI

EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

A = 10 x² - 5 - 3x⁴ + 2x³
B = x + 2

A:B = (10x² - 5 - 3x⁴ + 2x³) : (x + 2) =

1) Polinomio A ordenado y completo: -3x⁴ + 2x³ + 10x² + 0x - 5

2) El término independiente del polinomio divisor, con el signo "cambiado": -2

Cociente = -3x³ + 8x² - 6x + 12

Resto: -29

Solamente se puede aplicar la Regla de Ruffini cuando el divisor es un binomio de la forma: (x - a). Por ejemplo: (x - 3), (x + 2), (x - 1/2), etc.

Para aplicar la Regla de Ruffini, se ponen los coeficientes de dividendo-completo y ordenado de mayor a menor grado-, y el opuesto del número "a" del divisor (El opuesto del término independiente. Si es una suma, queda un número negativo. Si es una resta, queda un número positivo). Las x (o letras) del polinomio se quitan, y se hacen determinadas operaciones entre los números (ver en la EXPLICACIÓN todos los pasos). Luego, en el resultado, el último número de la derecha es el Resto de la división; y los otros números son los coeficientes del Cociente (resultado de la división), a los que hay que agregarles las "x" en orden de izquierda a derecha, comenzando por un grado menos que el del dividendo y disminuyendo hasta llegar a un término independiente (grado cero).

Hay divisores de grado 1 que no tienen la forma (x - a), pero que pueden ser modificados de alguna manera para que la tengan, y así luego poder usar la Regla de Ruffini (Ver EJEMPLO 7 y EJEMPLO 6)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (El dividendo A no tiene término independiente)

A = -4x⁴ + 30x + x⁵
B = x - 3

A : B = (-4x⁴ + x⁵ + 30x) :(x - 3)

1) Polinomio A ordenado y completo: x⁵ - 4x⁴ + 0x³ + 0x² + 30x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: 3

Cociente = x⁴ - x³ - 3x² - 9x + 3

Resto: 9

Si no hay término independiente en el dividendo, hay que completarlo con "0", tal como se completan los otros grados intermedios. El coeficiente de la x⁵ es 1, pues x⁵es igual a 1.x⁵. En el resultado también quedaron coeficientes "1" y "-1", pero luego en el Cociente no hace falta ponerlos.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con el dividendo muy incompleto)

A = 2x - x⁷
B = x + 1

A : B = (2x - x⁷):(x + 1)

1) Polinomio A ordenado y completo:

-x⁷ + 0x⁶ + 0x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 0x² + 2x + 0

2) El opuesto del término independiente del polinomio divisor: -1

Cociente: -x⁶ + x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x + 1
Resto: -1

No hay que olvidarse ningún cero, ya que deben rellenarse las columnas de todos los grados.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: (Caso particular: El dividendo es un polinomio de grado 1)

A = -3x + 5/2
B = x - 4

A : B = (-3x + 5/2):(x - 4)

Polinomio A ordenado y completo: -3x + 5/2

El opuesto del término independiente del polinomio B: -(-4) = 4

Cociente: -3

Resto: -19/2

Como el grado del dividiendo es 1, el grado del cociente es 0 (un grado menos que el dividendo). Así que el cociente es un "número solo" (término independiente, término de grado 0).

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: (Polinomios con dos letras)

A = x⁵ + y⁵
B = x + y

A : B = (x⁵ + y⁵):(x + y)

El polinomio A completo y ordenado: x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x + y⁵

El opuesto del término independiente del polinomio B: -y

Cociente: x⁴ - yx³ + y²x² - y³x + y⁴
Resto: 0

Divisiones como éstas se presentan en el Sexto caso de factoreo, y se las puede resolver aplicando la regla de Ruffini, tomando a una de las letras como la "indeterminada" del polinomio, y a la otra letra como si fuera un número.
En este ejemplo tomo a la "x" como indeterminada ("la letra del polinomio"), y a y⁵ lo tomo como si fuera un número. Como el término y⁵ no tiene la indeterminada "x", cumple el papel del término independiente. Por eso tengo que completar los grados intermedios entre 5 y 0. En el divisor, la "y" es el término independiente.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 6: (Modificación del divisor: "Cuando la letra es negativa")

A = 2x³ - x² + 5
B = 3 - x

Se divide a -A por -B, porque si la letra de B es negativa, en -B será positiva. El cociente dá igual que al dividir A:B, y el resto dá el opuesto (hay que cambiarle el signo):

-A = -(2x³ - x² + 5) = -2x³ + x² - 5

-B = -(3 - x) = (-3 + x) = x - 3

(-A):(-B) = (-2x³ + x² - 5):(x - 3)

El polinomio -A completo y ordenado: -2x³ + x² + 0x - 5

El opuesto del término independiente del polinomio -B: -(-3) = 3

Cociente de A:B = Cociente de (-A):(-B) = -2x² - 5x - 15

Resto de A:B = -Resto (-A):(-B) = -(-50) = 50

El cociente de A:B es el mismo cociente de (-A):(-B). Entonces, para que la letra del divisor sea positiva, se puede dividir por -B, pero a -A. Y el Resto no es igual, sino que es el opuesto del que se obtendría dividiendo A:B. La justificación de esto se puede ver en los comentarios de la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: (Modificación del divisor: "Cuando hay un número multiplicando a la letra")

A = -9x² - x + 5x⁴
B = 2x - 3

Multiplico a B por 1/2, para que desaparezca el 2 como coeficiente de x:

B´= (1/2).(2x - 3) = x - 3/2

Multiplico también a A por 1/2:

A´= (1/2).(-9x² - x + 5x⁴) = -9/2 x² - 1/2 x + 5/2 x⁴

El cociente de dividir A´: B´ es el mismo que el dividir A:B. Y para obtener el resto de A:B, hay que dividir por 1/2 al resto de dividir A´: B´.

El polinomio A´ completo y ordenado: 5/2 x⁴ + 0x³ - 9/2 x² - 1/2 x + 0

El opuesto del término independiente del polinomio B´: -(-3/2) = 3/2

Cociente de A:B = Cociente de A´: B´= 5/2 x³ + 15/4 x² + 9/8 x + 19/16

Resto de A:B = R´: 1/2 = (57/32):(1/2) = 57/16

Para eliminar el 2 que multiplica a la "x" en el divisor, multiplico a B por 1/2 (la fracción inversa a 2/1). Y también multiplico por 1/2 al polinomio A. Porque si multiplico por el mismo número al dividendo y al divisor, el cociente de la división no cambia. Pero el resto de la división no es el mismo, sino que quedó multiplicado por 1/2. Así que luego hay que dividirlo por 1/2 para obtener el resto de A:B (la justificación de todo esto se dá en la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN POR LA REGLA DE RUFFINI

¿Qué es la Regla de Ruffini?
Es una regla para hacer la división entre polinomios, usando solamente loscoeficientes del dividendo y el término independiente del divisor. El divisor debe ser un polinomio de grado 1, con coeficiente principal igual a 1 y con término independiente distinto de cero, por ejemplo: (x + 3), (x - 2/3), (x + 1), etc. Se obtienen los coeficientes del cociente (resultado) de la división, y el resto.

Para aplicar correctamente la regla se deben usar los coeficientes del dividendo completo y ordenado de mayor a menor grado (¿cómo se completa y ordena un polinomio?). Y al término independiente del divisor se le debe cambiar el signo (se usa el opuesto). Por ejemplo:

A = 2x - 4x³ + 5

B = x + 1

A:B =

El dividendo es el polinomio A. Lo completo y ordeno de mayor a menor grado:

-4x³ + 0x² - 2x + 5                               (¿Cómo se completa y ordena un polinomio?)

Los coeficientes que hay que usar en la Regla de Ruffini son:

-4   0   -2   5
El divisor es el polinomio B: (x + 1). El término independiente es 1. En la Regla de Ruffini hay que usar el opuesto de 1, que es:

-1

Y se ubican así:

    |   -4       0       -2      5
    |
    |
-1 |______________________

En la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1, y demás explicaciones se puede ver el procedimiento paso por paso para encontrar el cociente y el resto de la división.

¿Se puede aplicar la Regla de Ruffini si el divisor tiene coeficiente principal distinto de 1?

Si el divisor tiene un número multiplicando a la "x" (coeficiente principal distinto de 1), por ejemplo:

(2x + 5)

Se puede aplicar la regla de Ruffini si se previamente se multiplica al divisor por un número para quitarle el coeficiente, y al dividendo se lo multiplica por el mismo número. Luego se dividen los dos nuevos polinomios y el cociente que se obtiene es el mismo, y al resto al que dividirlo por ese número.

La explicación y justificación de ese procedimiento se puede ver en el EJEMPLO 7.

¿Se puede aplicar la Regla de Ruffini si el divisor tiene la "x" negativa?
Si la "x" ó la indeterminada del divisor es negativa, por ejemplo en:

(3 - x)

El coeficiente principal es -1, ya que (3 - x) es igual a:

(-1x + 3)

Entonces estamos ante un caso como el que mostré en la pregunta anterior: hay un número multiplicando a la "x". Por lo tanto se puede usar el mismo procedimiento que allí comenté: multiplicar al divisor por un número que haga desaparecer al -1 (que será -1), y al dividendo por ese mismo número. Luego dividir, y el cociente será el mismo, mientras que al resto hay que dividirlo por ese número. La explicación de esto se puede ver en el EJEMPLO 6.

"Ruffini con dos letras"

Se puede usar la regla de Ruffini en la división de polinomios con dos indeterminadas, tomando una de las indeterminadas como número (constante). Por ejemplo, en la división:

(x⁷ - y⁷):(x - y) =

Se puede usar la regla de ruffini si se toma a "x" como la indeterminada de los polinomios, y a y⁷ como término independiente del dividendo, y a "y" como término independiente del divisor.

El dividendo completo y ordenado es:

x⁷ + 0x⁶ + 0x⁵ + 0x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x - y⁷

Esta división está explicada paso por paso en el EJEMPLO 6 del sexto caso de Factoreo. Y en el EJEMPLO 5 de esta misma página se puede ver otro ejercicio similar.

¿Cómo determino el resultado de la división luego de aplicar la regla de Ruffini?
En la fila inferior de la regla de Ruffini se obtienen los coeficientes del cociente, ordenados de grado mayor a menor, empezando por un grado menos que el grado del dividendo. El último número de la fila es el resto, así que no forma parte del cociente, por eso se hace una línea vertical separatoria. Por ejemplo:

A = 10 x² - 5 - 3x⁴ + 2x³ = -3x⁴ + 2x³ + 10x² + 0x - 5
B = x + 2

A:B = (-3x⁴ + 2x³ + 10x² + 0x - 5) : (x + 2) =

Allí, los coeficientes del cociente son:

-3 8 -6 12

Como el dividendo (el polinomio A) es de grado 4, el cociente es de grado 3 (un grado menos que el dividendo). Así que a los coeficientes hay que agregarles la indeterminada, empezando por grado 3 y disminuyendo el grado hasta llegar al término independiente (grado 0):

COCIENTE = -3x³ + 8x² - 6x + 12

RESTO = -29

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LOS 10 CASOS DE FACTORIZACION

FACTORIZACION

Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.

Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

FACTORES

Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión.

Ejemplo:
a(a + b) = a² + ab
(x + 2) (x +3) = x² + 5x + 6
(m + n) (m- n) = m² - mn - n²

CASOS DE FACTORIZACION

CASO I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN

Factor Común Monomio:

Ejemplo 1:

14x² y² - 28x³ + 56x⁴

R: 14x² (y² - 2x + 4x²)

Ejemplo 2:

X³+ x⁵ – x⁷ = R: x³ (1 + x² - x⁴)

Ejemplo 3:

100a²b³c –150ab²c² + 50 ab³c³ - 200abc²=

R: 50abc (2ab² – 3bc +b²c² – 4c)

Factor Común Polinomio:

Ejemplo 1:

a(x + 1) + b(x + 1)

R: (x + 1) (a +b)

Ejemplo 2:

(3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) - (x + y – 1)( 3x +2)

R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)

(3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1)

-z ( 3x +2)

Ejemplo 3:

(a + b -1) (a ² + 1) – a² – 1

R: ( a + b -1) (a ² + 1) –( a² + 1)

( a² + 1)(a + b - 1)-1

( a² + 1)(a + b -1 -1)

( a² + 1)(a + b -2)

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINO

Ejemplo 1:

a² + ab + ax + bx

(a² + ab) + (ax + b)

a(a + b) + x(a +b)

(a + b) (a +x)

Ejemplo 2:

4am³ – 12 amn – m² + 3n

= (4am³ – 12amn) – (m² + 3n)

=4am (m² – 3n) – (m² + 3n)

R: (m² – 3n)(4am-1)

Ejemplo 3:

a²b³ – n⁴ + a²b³x² – n⁴x² – 3a³b³x + 3n⁴x

= (a²b³ – n⁴ + a²b³x² – n⁴x² – 3a³b³x + 3n⁴x)

= (a²b³ + a²b³x² – 3a²b³x) – (n4 + n⁴x²- 3n⁴x)

= a²b³ (1 + x² – 3x)- n⁴ (1 + x² -3x)

R: (1 + x² – 3x) (a²b³ - n⁴ )

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Ejemplo 1;

a² – 2ab + b²

Raíz cuadrada de a² = a

Raíz cuadrada de b²= b

Doble producto sus raíces

(2 X a X b) 2ab (cumple)

R: (a – b)²

Ejemplo 2:

49m ⁶– 70 am³n² + 25 a²n⁴

Raíz cuadrada de 49m⁶ = 7m³

Raíz cuadrada de 25a²n⁴= 5an²

Doble producto sus raíces

(2 X 7m³ X 5a²n²) = 70am³ n² (cumple)

R: (7m – 5an²)

Ejemplo 3:

9b² – 30 ab + 25a²

Raíz cuadrada de 9b² = 3b

Raíz cuadrada de 25 a²= 5a

Doble producto sus raíces

(2 X 3b X 5a) = 30ab (cumple)

R: (3b - 5a) ²

CASO ESPECIAL

Ejemplo 1:

a² + 2a (a – b) + (a – b)²

Raíz cuadrada de a² = a

Raíz cuadrada de (a – b)²= (a – b)

Doble producto sus raíces

(2 X a X (a – b) = 2a(a – b) (cumple)

R: (a + (a – b))²

(a + a – b) = (2a –b)²

Ejemplo 2:

(x + y)² – 2(x+ y)(a + x) + (a + x)²

Raíz cuadrada de (x + y)² =(x + y)

Raíz cuadrada de (a + x)²= (a + x)

Doble producto sus raíces

(2 X (x + y) X (a + x)) = 2(x +y)(a + x) (cumple)

R: ((x +y) – (a + x))²

(x + y – a – x)² = (y – a) ²

CASO IV